Binäre Zufallsvariablen

14.02.2012, 12:13	Avin	Auf diesen Beitrag antworten »
Binäre Zufallsvariablen Meine Frage: Hi, ich bin neu hier und bitte um Verständnis falls das Thema schon existiert oder ich mich falsch ausdrücke. Mein Problem: ich schreibe meine Bachelorarbeit über Kennzahlensysteme. Bei Kennzahlen unterscheidet man zwischen absoluten (z.B. Mittelwert) und relativen (z.B. Gliederungszahl) Kennzahlen. Ich habe eine Grundgesamtheit (in Excel) die sich in einem Vektor aus 1en und 0en zusammensetzt. Z.B. v = {0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0...} Jetzt möchte ich den Anteil aller 1en an der Grundgesamtheit bestimmen. Wenn ich es mir einfach machen will, addiere ich alle Elemente des Vektors und teile durch die Anzahl n aller Elemente. Das funktioniert hier, da alle Elemente binär sind. Das käme einem Mittelwert gleich. Die Formel dafür habe ich. Mein Problem ist allerdings, dass ich keine Formel finde, die mir den Anteil aller 1en (oder 0en) als Gliederungszahl angbit. (Eine Gliederungszahl ist eine Quote --> also wie hoch ist der Anteil aller 1en an der Gesamtmenge) Bei meinen Versuchen danach zu googlen stoße ich immer wieder auf boolesche Algebra und Aussagelogik bzw. auf binomialverteilte Zufsallsvariablen bei denen eine Eintrittswahrscheinlichkeit gegeben ist (die ich nicht habe) Meine Ideen: Ein paar Gedanken habe ich mir für eine allgemeine Formel für die Gliederungszahl gemacht: dazu ein Beispiel index (i): 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 Wert (x): 1 \| 1 \| 1 \| 0 \| 0 Gewicht(y): 1 \| 1 \| 1 \| 1 \| 1 y ist dabei ein Gewicht das ich brauche, um alle Elemente zählen zu können (die Summe entspricht n) Meine Ausgangsformel: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\sum\limits_{i=1}^n (y_{i} \| x_{i} = z)}{\sum\limits_{i=1}^n y_{i} }<br /> \end{eqnarray}$ z kann die Werte 1 oder 0 annehmen zum Zähler: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=1}^n y_{i} (1-z) - \sum\limits_{i=1}^n (y_{i} * x_{i}) * (-1)^{z}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> y_{i} = 1 \forall i = 1..n <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=1}^n 1 * (1-z) - \sum\limits_{i=1}^n x_{i} * (-1)^{z} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> n * (1-z) - \sum\limits_{i=1}^n x_{i} (-1)^{z} <br /> \end{eqnarray}$ für z = 1 gilt: $\begin{eqnarray} <br /> -\sum\limits_{i=1}^n x_{i} -1 = \sum\limits_{i=1}^n x_{i}<br /> \end{eqnarray}$ für z = 0 gilt: $\begin{eqnarray} <br /> n -\sum\limits_{i=1}^n x_{i}<br /> \end{eqnarray}$ zum Nenner: $\begin{eqnarray} <br /> y_{i} = 1 \forall i = 1..n<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=1}^n 1 = n <br /> \end{eqnarray}$ damit ergibt sich als Endformel für z = 1: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i} }{n} <br /> \end{eqnarray*}$ habe ich damit bewiesen, dass für binäre Zufallsvariablen bei der Positivbetrachtung (=1) gilt: Gliederungszahl = Durchschnitt? Der Durchschnitt hat ja die gleiche Formel Wie gesagt, die Formel habe ich mir nach eigenem Verständnis zusammengereimt (und ich bin nicht der große Stochastiker!!). Für meine Arbeit wäre es nur wichtig eine klare Einordnung in absolute oder relative Zahl treffen zu können, da in der Fachliteratur diskutiert wird, ob absolute Kennzahlen als solche bezeichnet werden dürfen. Vielen Dank für Eure Hilfe!! MfG Avin

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