Zahlenrätsel

14.02.2012, 15:15	Klene_Miss	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenrätsel Meine Frage: Hallo zusammen Ich hoffe es kann mir einer von euch weiterhelfen. Die Aufgaben lautet: Gesucht sind jeweils die kleinsten drei dieser Zahlen. 1)Die Zahlen sollen genau 36 Teiler haben und durch 15 und durch 2 teilbar sein. Lösung: 1260, 1440, 1800 2) Die Zahlen sollen genau 12 Teiler haben und durch 14 teilbar sein. Das Fünffache der Zahl soll genau 24 Teiler haben. Lösung: 84, 126, 224 Meine Ideen: Bei Aufgabe 1) habe ich zuerst eine Primfaktorzerlegung von 36 gemacht 36= 218 = p^1q^17 =229 = p^1q^1r^8 =2233 = p^1q^1r^2s^2 Danach habe ich eine Primfaktorzerlegung von 15 gemacht --> 15= 35 Die 2 ist ja eine Primzahl und muss daher nicht zerlegt werden. Zum Schluss habe ich dann einfach die Zerlegung von 15 und die 2 in meine Primfaktorzerlegung von 12 eingesetzt. z.B: 3^15^1*2^8 Aber ich komme bei keinem Einsetzten auf die gewünschten Ergebnisse! Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen. Bin schon total am verzweifeln
14.02.2012, 15:45	topo	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal ob du mit http://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion weiterkommst Anzahl der Teiler einer Zahl n = $\begin{eqnarray} p_1^{e_1}p_2^{e_2}... \end{eqnarray}$ (Primfaktorzerlegung) ist $\begin{eqnarray} (e_1+1)(e_2+1)... \end{eqnarray}$
14.02.2012, 16:11	Klene_Miss	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft mir irgendwie nicht weiter. Ist das nicht das selbe was ich schon gemacht habe nachdem ich die Primfaktorzerlegung der 36 durchgeführt habe? Habe z.B. von 2*18 gesagt das die Exponenten für p^1 und für q^17 sein müssen, damit wenn ich nachher eine Zahl herausbekomme und von dieser die Teileranzahl 36 sein soll auch die Exponenten stimmen, da ich die Exponenten zum errechnen der Teileranzahl wieder um 1 erhöhen muss.
14.02.2012, 16:23	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo klene-misss, ich glaube du machst da einen denkfehler: wenn eine zahl z.B. die primfaktorzerlegung 2^1*5^3 hat, heisst das nicht, dass die zahl dann nur 1+3=4 teiler hat, es sind in wirklichkeit viel mehr, man kann also nicht einfach nur die exponenten addieren, um die anzahl aller teiler zu bestimmen. gruss ollie3
14.02.2012, 16:40	Klene_Miss	Auf diesen Beitrag antworten »
habe mich vielleicht falsch ausgedrückt ^^ Meinte eig. das wenn eine von den ganzen Zerlegungen der 36 z.B. die 218 ist , dann müsste ich die Exponenten im nächsten Schritt um eins verringern q^1p^17 damit wenn ich später eine Zahl errechne und dort einsetzte und die Teileranzahl der errechneten Zahl errechne, die ja 36 sein soll, alles passt. Wäre ja dann zum Beispiel 5^12^17= 655360 Teileranzahl von 655360 wäre dann= (1+1)(17+1)=36 also die gewünschte Anzahl an Teilern. Mein Problem ist aber das ich nicht weiß wie ich auf die kleinsten drei zahlen komme, die dann auch noch durch 15 und 2 teilbar sein sollen. Mein kleinstes Ergbenis ist 3840. Aber das ist ja leider falsch Könnte mir einer helfen wie man die Teileranzahl und die Zahlen (15,2) durch die die Zahlen teilbar sein soll verbindet um die kleinsten drei Zahlen zu errechnen?
14.02.2012, 17:04	topo	Auf diesen Beitrag antworten »
so, du hast die 15 und die 2 als Teiler vorgegeben, also im Prinzip min. ewinmal die 5, 3 und die 2 Primfaktorzerlegung der 36 ist $\begin{eqnarray} 2^23^2 \end{eqnarray}$ nun musst du also mit $\begin{eqnarray} 2^a3^b5^c \end{eqnarray}$ a, b, c so bestimmen (je. min 1) dass $\begin{eqnarray} (a+1)(b+1)(c+1)=36 \end{eqnarray}$ ein Beispiel: a=2, b=2, c=3 dann ergibt sich $\begin{eqnarray} 2^23^25^3=4500 \end{eqnarray}$ kleiner bekommt man diese Zahl zum Beispiel, in dem man einen anderen Primfaktor mit der Hüfigkeit 3 nimmt a=2, b=3, c=2 dnn würde sich $\begin{eqnarray} 2^23^35^2=2500 \end{eqnarray*}$ ergeben für die kleinsten Möglichkeiten, sollte man also möglichst die kleinsten Primfaktoren oft nehmen und die größeren weniger oft... und wenn man von dort aus an fängt auszuprobieren, sollteman die ein oder andere Lösung finden versuch zum Beispiel mal die a=3...
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