Ermittlung der Ortskurve durch den allgemeinen Hochpunkt

14.02.2012, 16:24

kleiner Stern

Ermittlung der Ortskurve durch den allgemeinen Hochpunkt

Meine Frage:
Hallöchen,
hänge an folgender Aufgabe
"Berechnen Sie den allgemeinen Hochpunkt für die Funktion
fk(x)=(-kx+3)e^1/2x^

Meine Ideen:
Leider hab ich keine ahnung wie ich das rechnen soll.. Unser Lehrer hat in einer vorherigen Aufgabe folgendes aufgeschrieben:
K = K +1-K = K/2x | * (-2/K)
(-2+2K)/K = x
x = 2-2/K

Aber woher die ganzen Zahlen kommen ist mir unklar?! Brauche dringend hiiilfe ;D

14.02.2012, 16:27

Cheftheoretiker

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RE: Ermittlung der Ortskurve durch den allgemeinen Hochpunkt
Wie berechnet man denn einen lokalen Hochpunkt?

14.02.2012, 16:31

kleiner Stern

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RE: Ermittlung der Ortskurve durch den allgemeinen Hochpunkt
die 1. Ableitung = 0 setzen
das Ergebnis in die Ausgangsfunktion einsetzen

meinst du das?

14.02.2012, 16:31

planck1885

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Hi,

was sollst du nun machen, den allgemeinen Hochpunkt angeben, oder die Ortskurve bestimmen?

Erstmal handelt es sich hierbei um eine Funktionsschar.

Um die Extrempunkte zu bestimmen führt man zuerst die notwendige Bedingung aus, anschließend überprüft man noch mithilfe der hinreichenden Bedingung, ob es sich um einen Tiefpunkt oder einen Hochpunkt handelt.

$\begin{eqnarray*} f_k(x)=(-kx+3)e^{0,5x} \end{eqnarray*}$

(Ups zu spät aktualisiert! Augenzwinkern

)

14.02.2012, 16:33

kleiner Stern

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ich muss zuerst den allgemeinen Hochpunkt berechnen. Die Ortskurve weiß ich wie ich zu rechnen habe, aber mir fehlt der Schritt zum Hochpunkt.

14.02.2012, 16:37

planck1885

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Um die ersten beiden Ableitungen der Funktionsschar zu bestimmen benötigst du die Produkt- und Kettenregel.

Kannst du diese?

14.02.2012, 16:39

kleiner Stern

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also quasi fk(x) = (-kx+3)e^0,5x^
fk(x) = u'v + uv'
richtig?

14.02.2012, 16:43

kleiner Stern

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für die 1. Abl. hätte ich raus:
fk'(x) = (-K/2x + 1,5 - k )e^0,5x^
stimmt das soweit?

14.02.2012, 16:49

planck1885

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Deine Ableitung ist korrekt, man könnte jetzt noch hingegen und das ganze etwas schöner hinschreiben.

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=(-1k) \cdot e^{\frac{1}{2}x}+(-kx+3) \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=(-\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2})e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

So, wie sieht nun der nächste Schritt aus bei der Funktionsuntersuchung.

Tipp: Die notwenige Bedingung ist noch nicht ganz gertig!

14.02.2012, 16:53

kleiner Stern

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ja die 2. Abl. brauch man ja noch da hatte ich raus:
fk''(x) = (-K/4x + 3/4 - K)e^0,5x^
kann man auch wieder zusammen fassen, aber mit K versteh ich das sowieso nich^^

& danach muss man die 1. Abl ja = 0 setzen un das ergebnis dann in die 2. abl. für den Nachweis und in die ausgangsfunktion einsetzen. ?!

14.02.2012, 16:58

kleiner Stern

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hab da grad mal ein bisschn rumgetüffelt un bin auf
x = -1,5 + 2/K gekommen.
Könnte das stimmen?

14.02.2012, 17:00

planck1885

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Ich würde dir empfehlen das k klein zu schreiben, ein großes K sieht immer so aus als würdest du hier etwas integrieren, anstatt differenzieren, aber das nur so am Rande. smile

Die erste Ableitung wird für die notwenige Bedingung gleich Null gesetzt und die Nullstelle(-n) in Abhänigkeit von k berechnet.

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=(-\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2})e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

Unter Berücksichtigung des Nullprodukts wird $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$ niemals Null.

14.02.2012, 17:02

kleiner Stern

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auf meinem Blatt is das k immer kleingeschrieben hihi ups. ^^

ehm daraus folgt das K = 0 is?

14.02.2012, 17:04

planck1885

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Für die Nullstellen gilt:

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} kx+\frac{k}{2}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{k}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

14.02.2012, 17:05

kleiner Stern

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huuups ich hab die vorzeichen übersehen ^^
Vieelen daank ;D
ich glaub jetz komm ich wieder alleine weiter (:

14.02.2012, 17:12

planck1885

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Nun wird um den y-Wert des Hochpunktes zu bestimmen der x-Wert in f(x) eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} f_k(\frac{3}{k}+\frac{1}{2})=(-k \cdot (\frac{3}{k}+\frac{1}{2})+3)e^{\frac{1}{2}(\frac{3}{k}+\frac{1}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_k(\frac{3}{k}+\frac{1}{2})=(-3-\frac{1}{2}k+3)e^{\frac{3}{2k}+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_k(\frac{3}{k}+\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}k \cdot e^{\frac{3}{2k}+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Und wie machst du nun weiter?

14.02.2012, 22:09

opi

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Zitat:

Original von kleiner Stern
für die 1. Abl. hätte ich raus:
fk'(x) = (-K/2x + 1,5 - k )e^0,5x^
stimmt das soweit?

Diese Ableitung $\begin{eqnarray*} f'_k(x)=\left(-\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2} \right)\cdot e^{\frac{1}{2} x} \end{eqnarray*}$ war völlig richtig und wurde danach falsch zusammengefasst.

Hier muß also bei der Bestimmung der Nullstellen wieder von vorn angefangen werden. unglücklich

Zitat:

Original von planck1885
Daraus folgt, dass x gleich 1k ist!
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{3}{2}k+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}x=-\frac{3}{2}k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1k \end{eqnarray*}$

@planck1885: Wo Du hier wieder ein x herbeizauberst und wie Du anschließend umformst, wird mir immer ein Rätsel bleiben.

14.02.2012, 22:42

planck1885

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@opi, danke Wink

Ich bin meine Post's jetzt nochmal durchgegangen und habe die Ableitung geändert.

Jetzt müsste es wieder stimmen. Augenzwinkern

14.02.2012, 22:47

Iorek

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@planck,

auch nach deiner Überarbeitung deiner Beiträge, sind diese noch immer fehlerhaft. Die von dir erstelle Ableitung ist falsch. Eine nachträgliche Bearbeitung von Beiträgen durchzuführen, die diese erheblich ändert, ist außerdem nicht gern gesehen, da ein Thread dann nicht mehr nachvollzogen werden kann und später getätigte Äußerungen fehl am Platz erscheinen.

Ein sprachlicher Kommentar: die Mehrzahl von Post ist Posts, das hässliche Apostroph-s bei Pluralformen gibt es nur um Englischen (und mit wenigen Ausnahmen im Deutschen, jedoch nicht in diesem Fall).

15.02.2012, 00:12

opi

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Das darf ja wohl nicht wahr sein! böse

@planck: Über die Probleme nachträglichen Editierens von Beiträgen hatte Iorek eben gerade berichtet. Was machst Du? Beiträge editieren.

Die Ableitung stimmt nun natürlich. Die Berechnung der Nullstelle ist aber falsch. unglücklich

15.02.2012, 07:18

planck1885

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Tut mir leid, kommt nicht mehr vor. Was ist denn an der Nullstellenberechnung falsch?

Das Nullprodukt besagt doch, dass ein Produkt Null ist, wenn einer der Fatoren Null ist.

Da $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$ nicht Nullwerden kann, betrachte ich den ersten Faktor des Produkts.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung muss doch jetzt einfach nach x umgestellt werden.

15.02.2012, 07:28

planck1885

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Zitat:

Original von planck1885
Für die Nullstellen gilt:

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} kx+\frac{k}{2}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{k}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k+\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Durch Subtraktion geht 3/2 auf die rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx-k=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Durch Addition bekommt man das k auf die rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}kx=-\frac{3}{2}+k \end{eqnarray*}$

Durch Subtraktion bekommt man -1/2 auf die rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} kx=3-2k \end{eqnarray*}$

Zum Schluss wird noch durch k auf beiden Seiten geteilt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{3-2k}{k} \end{eqnarray*}$

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