Menge komplexer Zahlen bestimmen

14.02.2012, 18:31

gast99991

Menge komplexer Zahlen bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
zu folgender Ungleichung möchte ich gern die Menge aller komplexen Zahlen bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \left\{z\in \mathbb C , \Re\left(\frac{z}{z+3}\right)\leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das Reziproke gebildet:
$\begin{eqnarray*} \Re\left(\frac{z+3}{z}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
dann vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} \Re\left(1+\frac{3}{z}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
dann für $\begin{eqnarray*} z= a+bi \end{eqnarray*}$ eingesetzt
der Realteil von dem oben genannten Ausdruck ergibt sich dann als:
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{a}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und das nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aufgeglöst ergibt:
$\begin{eqnarray*} a\geq -6 \end{eqnarray*}$
Stimmt das?
Ist das dann in der Gauß'schen Zahlenebene die gesamte Fläche die rechts von $\begin{eqnarray*} a=-6 \end{eqnarray*}$ liegt?
Vielen dank für eure Hilfe.

15.02.2012, 01:57

original

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RE: Menge komplexer Zahlen bestimmen

Zitat:

Original von gast99991

$\begin{eqnarray*} \left\{z\in \mathbb C , \Re\left(\frac{z}{z+3}\right)\leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das Reziproke gebildet:
$\begin{eqnarray*} \Re\left(\frac{z+3}{z}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ unglücklich

..<- 1.
dann vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} \Re\left(1+\frac{3}{z}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
dann für $\begin{eqnarray*} z= a+bi \end{eqnarray*}$ eingesetzt
der Realteil von dem oben genannten Ausdruck ergibt sich dann als: unglücklich

.. <- 2.
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{a}\right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

->
du hast mehrere Fehler eingebaut:

1. der Realteil des Reziproken ist nicht so wie du denkst...
Beispiel
Zahl:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot i \end{eqnarray*}$ ---> Realteil $\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{1+i} ) \end{eqnarray*}$ = 1/2 (..<-.. Kehrwert wäre : 2)

Kehrwert der Zahl:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1} = 1+i \end{eqnarray*}$ -> Realteil = 1

also:
die Zahlen sind Kehrwerte voneinander
aber
ihre Realteile sind nicht Kehrwerte voneinander

2.
der Realteil von 1/(a+bi) ist nicht 1/a , sondern a/(a^2+b^2)

also : beginne nochmal ganz neu und berechne zuerst den richtigen Realteil von $\begin{eqnarray*} \frac{z}{z+3} \end{eqnarray*}$

15.02.2012, 10:12

Gast99991

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Vielen Dank für deine Antwort.

Also der Realteil von:

$\begin{eqnarray*} \Re \left(\frac{z}{z+3} \right) \end{eqnarray*}$

ergibt sich dann für:

$\begin{eqnarray*} \Re \left(\frac{a+bi}{(a+3)+bi} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mit

$\begin{eqnarray*} (a+3)-bi \end{eqnarray*}$

erweitere, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \Re \left(\frac{a(a+3)+b^{2}}{(a+3)²+b²} \right) \end{eqnarray*}$

Dass in die Ungleichung eingesetzt und aufgelöst ergibt:

$\begin{eqnarray*} a²+3a+b²\leq 2a²+12a+18+2b² \end{eqnarray*}$

nach a und b sortiert liefert:

$\begin{eqnarray*} -a²-9a\leq b²+18 \end{eqnarray*}$

nach quadratischer Ergänazung und Multiplikation mit

$\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$

erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (a+4.5)²-20.25\geq -b²-18 \end{eqnarray*}$

und das noch ein bisschen schöner sortiert liefert die Kreisgleichung:

$\begin{eqnarray*} (a+\frac{9}{2})²+b²\geq 1.5² \end{eqnarray*}$

Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius

$\begin{eqnarray*} M=(-\frac{9}{2};0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=1.5 \end{eqnarray*}$

In der Gauß'schen Zahlenebene ist die Menge der komplexen Zahlen, die der Ausgangsgleichung entspricht, die die außerhalb dieses Kreises liegt. Richtig?

15.02.2012, 10:48

original

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Zitat:

Original von Gast99991

Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius

$\begin{eqnarray*} M=(-\frac{9}{2};0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=1.5 \end{eqnarray*}$

In der Gauß'schen Zahlenebene ist die Menge der komplexen Zahlen,
die der Ausgangsgleichung entspricht, die die außerhalb dieses Kreises liegt.
Richtig?

Richtig !