n-te Partialsumme einer allg. GZF

14.02.2012, 19:09

AlfG

n-te Partialsumme einer allg. GZF

Meine Frage:
In meinem Buch steht:
$\begin{eqnarray*} <br /> s_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} =a_{1} + a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+...+a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Danach wird diese n-te Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ mit q multipliziert und das Produkt $\begin{eqnarray*} q*s_{n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ subtrahiert.

Was ich, beim besten Willen, nicht verstehe sind die zwei Terme am Schluss. Ich kann damit schlicht nichts
anfangen.

$\begin{eqnarray*} a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich brüte schon seit Tagen immer wieder darauf. Habe aber keine Idee. Leider. unglücklich

Ich hoffe jemand kann mir in Worten erklären was genau diese Terme da sollen.
Oder vielleicht einen Denkanstoss in die richtige Richtung geben.
Mit den Aufgaben zu GZF aus meinem Algebra Buch komme ich eigentlich gut zurecht.

Mit bestem Dank
AlfG

14.02.2012, 22:47

Gualtiero

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RE: n-te Partialsumme einer allg. GZF
Es sind n Summenglieder vorhanden, aber die Hochzahl des letzten q ist deswegen n-1, weil das erste Summenglied eigentlich heißt: $\begin{eqnarray*} a_1q^0 \end{eqnarray*}$

Da aber bekanntlich eine Zahl mit 0 potenziert 1 ergibt, wird das oft weggelassen.

15.02.2012, 14:45

Alfred Gäbeli

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ok, verstehe. D.h. VOR dem Term $\begin{eqnarray*} a_{1} q^{n-2} \end{eqnarray*}$ müsste dann
$\begin{eqnarray*} a_{1} q^{n-3} \end{eqnarray*}$ stehen. und davor müsste $\begin{eqnarray*} a_{1} q^{n-4} \end{eqnarray*}$ stehen?

15.02.2012, 15:14

Gualtiero

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Ja, das musst Du aber nicht unbedingt hinschreiben.

Wenn man so eine Menge an Summengliedern aufzählt, führt man meistens zwei oder drei am Anfang und ebenso viele am Ende an.

Der Kernpunkt Deiner Frage in diesem Beispiel ist, dass der Exponent von q immer um 1 kleiner als der Index des jeweiligen Elementes ist; also n-1 beim letzten.

15.02.2012, 16:51

Alfred Gäbeli

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ok. und die Exponenten sind immer steigend. ich meine damit das ich in diesem Beispiel mit
$\begin{eqnarray*} a_{1}q^{5}+a_{1}q^{6}+a_{1}q^{7}+a_{1}q^{8}+....+ \end{eqnarray*}$ auf ewig weiter machen kann und

$\begin{eqnarray*} +a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1} \end{eqnarray*}$
drückt lediglich aus, dass die Exponenten immer weiter steigen?
Habe ich das so richtig verstanden?
Oder sieht das wie eine Art Treppe aus, auf der man, wenn man von links kommt hochsteigt und dann, wenn man bei n/2 summanden ankommt, wieder nach unten steigt?
Ich bin verwirrt unglücklich

15.02.2012, 21:26

Gualtiero

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Ja, theoretisch können sie bis Unendlich gehen, aber in der Praxis ist das n meistens irgendwie gegeben. Das wirst Du dann noch sehen, wenn Ihr Beispiele aus dem Finanzwesen, wie Rentenrechnungen, Kapitalansparungen, Wachstumsberechnungen usw. macht.

So eine "Auf-Ab-Reihe" wie Du meinst, habe ich noch nicht gesehen und wenn es sie gibt, dann ist keine geometrische. Über die verschiedenen Varianten von Reihen und Folgen lies am besten im Buch nach oder schau Dich im I-Net um, da sind so grundlegende Dinge ausführlicher erklärt.

Du kannst Dich mal fragen, wie sich der Wert von q auf den Verlauf einer Folge auswirkt. Was geschieht bei q > 1, was bei 0 < q < 1 ?

Bei praktischen Beispielen wiederum kann Dir hier besser geholfen werden.

16.02.2012, 16:51

Alfred Gäbeli

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ok. ich glaube ich habe es verstanden.

$\begin{eqnarray*} <br /> s_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} =a_{1} + a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}+...+a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1} \end{eqnarray*}$

wenn ich fuer n=50, dann ist das letzte glied $\begin{eqnarray*} a_{1}q^{50-1} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a_{1}q^{49} \end{eqnarray*}$
das zweitletzte $\begin{eqnarray*} a_{1}q^{48} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Du kannst Dich mal fragen, wie sich der Wert von q auf den Verlauf einer Folge auswirkt. Was geschieht bei q > 1, was bei 0 < q < 1 ?

für q > 1 und a1 positiv, wächst die Folge immer höher.

für 0 < q < 1 und a1 positiv so wird sie immer kleiner.

Vielen Dank nochmals für deine Mühe!
Herzlich
AlfG

16.02.2012, 22:22

Gualtiero

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Alles richtig. Freude

Keine Ursache.

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