Verschoben! Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

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sLevin Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern
Meine Frage:
Hallo erstmal,

wir haben heute ein neues Thema angefangen. Wie oben genannt handelt es sich dabei um Lineare Gleichungssysteme mit Parametern.
die Aufgabe lautet wie folgt:

1 1 -5 = 6
2 -b 7 = -1
6 6 -17 = 13

Meine Ideen:
So weit ich weiß muss ich hier die Gleichung 2 an die unterste Stelle des Gleichungssystems schreiben:

1 1 -5 = 6
6 6 -17 = 13
2 -b 7 = -1

Und nun wende ich den gauischen Algorithmus an:

1 1 -5 = 6 |*6
6 6 -17 = 13
-------------
-13 = 23

Also habe ich x3 jetzt welche -23/13 ist.
Anschließend:


1 1 -5 = 6 |*2
2 -b 7 = -1
-------------
2*+b -17= 13

Von nun an weiß ich nicht mehr weiter ?!
Ziel des ganzen ist es auf jeden Fall in Abhängigkeit des Parameters zuschauen, wann das Gleichungssystem eine, keine und unendlich viele Lösungen hat.

Ich hoffe jemand kann mir meinen Fehler zeigen und mir das Verfahren erklären.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hier mal die ganz ausführliche Lösung. Das ist nur ein exemplarisches Beispiel, man kann es auch anderst rechnen. Bitte wenigstens im Prinzip nachrechnen.
























sei



der Fall b=-2 müsste noch extra behandelt werden.

war ja bei dir richtig. Nur mit dem Einsetzen und dem Rest hat es nicht geklappt. Deine Schriftfiguren sind auch schlecht zu lesen.

Versuch es nochmal und verwende dann die Matrizen in Latex, die du bei mir per "zitieren" kopieren kannst.
sLevin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

vielen Dank. Das habe ich sogar genau so auf einem Schmierzettel gehabt. Aber wie ich jetzt bestimmen kann ob das Gleichungssystem in Abhängigkeit von dem Parameter unendlich viele, keine oder eine Lösung hat weiß ich leider nicht. Unser Lehrer meinte wie müssen dazu den Therm mit B umstellen. Schöner Weise hat sich bei seiner Aufgabe alles weggekürzt so das gegen Ende tatsächlich nur noch 2+b*x3=0 stand. Erreiche ich hier das Gleiche, in dem ich in die Gleichung mit b x1 und x3 einsetzte und dann umstelle?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap




wenn du die Lösung in die rote Zeile einsetzt hebt sich alles raus. 0=0. und ? was soll das bringen? Die Lösung muss immer in jeder Zeile etwas Wahres liefern, sonst wäre es keine Lösung.

Die Lösung galt nur für Das System erfordert nun die Prüfung diesen Falles , und wo? eben nur am Original.

Wenn du die neue Matrix mit rechnest, kannst du feststellen, dass das System dann unlösbar ist.

Mehr kannst du aus dem System nicht herausquetschen. Irgendwelche herum-und-nochmal einsetzen darf nichts Neues liefern.
Ausser, dass man sich selbst in die Sackgasse manövriert.

Und die Gleichung deines Lehrers widerspricht unserer Lösung.
sLevin Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
Ich habe die Formel erhalten.
Jetzt kann ich auch die Werte für die Lösung bestimmen.
b = -2 Keine Lösung
und für
b != 2 unedlich viele Lösungen.
Vielen Dank für deine Hilfe!

Hier noch mal mein Rechenweg:



L1*-6 + L2
L1*-2 + L3



L2*13 und L3*17



L2 - L3



b = -2 Keine Lösung
und für
b != 2 unedlich viele Lösungen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

gut, du hast eine Zeile mit:

\keine Lösung

soweit war ich auch, aber jetzt:



und daraus folgerst du, dass beliebig sein kann?? verwirrt

Ich folgere daraus, dass ist.

Tip: nicht jedes System mit einem Parameter erzeugt alle drei möglichen Fälle.
 
 
sLevin Auf diesen Beitrag antworten »

X2 kann nicht jede Zahl sein. Wenn x2 = 0 stimmt die Aussage auch nicht aber x2 kann jede andere Zahl in abhängigkeit von b sein. Ansonsten weiß ich nicht was du meinst denn:




ist umgeformt



was ja



ist und der Lösung für x2 entspricht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du hast gefolgert, dass bei b=2 unendlich viele Lösungen existieren.
Ist das jetzt endlich vom Tisch??


-----------------------------------------------------------

dass tatsächlich " beliebig" viele Lösungen in Abhängigkeit von b hat ist unglücklich formuliert. b ist nur ein Formparameter! keine freie Variable.
Unter beliebig versteht man unendlich viele Lösungen aufgrund von

sLevin Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das habe ich oben falsch aufgeschrieben mein Fehler.
Es muss korrekt heißen, dass es für jeweils eine Lösung gibt ausgenommen 0.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

na endlich Freude

der angesprochene Aspekt der "Lösungsmenge" ( alles ausser Null ) ist aber nicht das was man unter Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Formparameter versteht.

es genügt:

sLevin Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Vielen Dank für deine Hilfe! Ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
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