Optimaler Preis, Werbekosten, Absatzquantität

15.02.2012, 11:42

jockijo

Optimaler Preis, Werbekosten, Absatzquantität

Servus,
momentan stehe ich vor folgender Aufgabe und komme einfach nicht auf die richtige Lösung:

Für ein Produkt, das ein monopolistischer Anbieter auf dem Markt bringen möchte, gelte die Preis-Absatz-Beziehung

$\begin{eqnarray*} x=100-p+\sqrt{q} \end{eqnarray*}$

wobei p den Preis, x die Absatzquantität und q die Werbekosten bezeichnen. Ferner sind die Produktionskosten gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} c(x)=40x+500 \end{eqnarray*}$

a) Man berechne den Preis p, das Werbebudget q und die Absatzquantität x so, dass der Gewinn lokal maximal wird, und gebe den maximalen Gewinn an.

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Meine Berechnungen bisher:
Gewinnfunktion: $\begin{eqnarray*} g=px-c(x) \end{eqnarray*}$ also Umsatz-Kosten

also muss $\begin{eqnarray*} g=p\cdot (100-p+\sqrt{q})-40\cdot ( 100-p+\sqrt{q})-500 \end{eqnarray*}$ sein.
gekürzt ergibt das $\begin{eqnarray*} g=100p-p^{2}-4500+\sqrt{q}(p-40) \end{eqnarray*}$

Jetzt g nach p bzw. q ableiten und die Ableitungen Null setzten, also

$\begin{eqnarray*} g_{p}(p,q)=140-2p+\sqrt{q}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{q}(p,q)=p-40=0 \end{eqnarray*}$

Aus der Zweiten Gleichung folgt p=40, dies wiederum in Gleichung 2 eingesetzt ergibt ein q=3600. Wenn ich jetzt p und q in x einsetze erhalte ich ein x=120.

Die Lösung meint allerdings p=80, q=400, x=40 .

Ich habs schon drei mal durchgerechnet, komme aber immer wieder auf das selbe Ergebnis und komme einfach nicht weiter.

15.02.2012, 12:50

Steffen Bühler

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RE: Optimaler Pries, Werbekosten, Absatzquantität

Zitat:

Original von jockijo
$\begin{eqnarray*} g=p\cdot (100-p+\sqrt{q})-40\cdot ( 100-p+\sqrt{q})-500 \end{eqnarray*}$ sein.
gekürzt ergibt das $\begin{eqnarray*} g=100p-p^{2}-4500+\sqrt{q}(p-40) \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt nicht weitergerechnet, aber hier fehlt der Term +40p.

Viele Grüße
Steffen

15.02.2012, 14:57

jockijo

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RE: Optimaler Pries, Werbekosten, Absatzquantität
ah jetzt hab ich meinen Fehler gesehen, vielen Dank smile

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