Frage zur Integration über ein totales Differential

15.02.2012, 13:37

mar__eike

Frage zur Integration über ein totales Differential

Meine Frage:
Gegeben: df = (x² + 2xy)dx + (y^4 + x²)dy
Gesucht: f(x,y)

angegebene Lösung:
f(x,y) = x³/3 + x²y + (y^5)/5 + c

Meine Frage:
Ähm, ist jetzt wahrscheinlich ne doofe Anfängerfrage, aber wie muss ich hier vorgehen? Bin dankbar für nen kleinen Tipp!! =)

Meine Ideen:
Ich hätte einfach die beiden Terme integriert, aber ich bekomme damit was anderes raus:

Int df = Int(x² + 2xy)dx + Int(y^4 + x²)dy
= x³/3 + x²y + (y^5)/5 + x²y + c
= x³/3 + 2x²y + (y^5)/5 + c

wo bleibt denn das zweite x²y in der Musterlösung??

16.02.2012, 16:37

system-agent

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RE: Frage zur Integration über ein totales Differential

Zitat:

Original von mar__eike
Ich hätte einfach die beiden Terme integriert, aber ich bekomme damit was anderes raus:

Int df = Int(x² + 2xy)dx + Int(y^4 + x²)dy

Bitte schreibe nicht sowas, denn es sieht grausig falsch aus. Deine Idee ist aber richtig.

Das Wichtige ist nur, dass einerseits $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=x^2+2xy \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=y^4+x^2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Integrierst du $\begin{eqnarray*} x^2+2xy \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kriegst du $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3}+x^2y \end{eqnarray*}$ und das erfüllt bereits die erste Bedingung. Dann leitest du das einfach mal nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab und schaust, was in der zweiten Bedingung noch nicht erfüllt ist. In dem Falle taucht der Summand $\begin{eqnarray*} y^4 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} y^4+x^2 \end{eqnarray*}$ noch nicht auf - also musst du den separat integrieren und zu deiner Lösung addieren - das liefert auch die Musterlösung.

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