Ungleichung bestimmen

15.02.2012, 16:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung bestimmen Meine Frage: Hi, ich will die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen. Die Funktionen lauten: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=-x^2+x<br /> g(x)=x-2<br /> \end{eqnarray}$ das ist kein Problem. Die einzige Frage die ich habe ist, woher ich weiß welche Funktion "über" welcher ist. Meine Ideen: Ich habe die Ungleichung $\begin{eqnarray} f(x)\geq g(x) \end{eqnarray}$ aufgestellt und gelöst. $\begin{eqnarray} -x^2+2x \geq x-2 \end{eqnarray}$ das heißt -x, +2, mal -1 (dabei Relationszeichen umdrehen) anschließend pq-Formel daraus Folgt dann, das für $\begin{eqnarray} -1 \leq x \leq 2 <br /> <br /> f(x)\geq g(x) \end{eqnarray}$ ist. Die liegt in dem Intervall wo ich die Flächebestimmen soll. Schnittstellen sind ebenfalls -1 und 2. Also kann ich einfach Integrieren und erhalte 4,5 als Ergebnis. Das kleine Problem was ich nun habe ist, dass ich einfach angenommen habe das $\begin{eqnarray} f(x)\geq g(x) \end{eqnarray}$ ist. Wie mache ich das wenn ich keine nähere Vermutung darüber anstellen kann? Ist es egal?? Weil spätestens mit der Lösung der Ungleichung würde ich ja sehen welche größer oder kleiner ist auf den bestimmten Abschnitten.
15.02.2012, 16:45	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eigentlich egal, welche die größere Funktion ist, das ist auch viel zu viel Aufwand. Stattdessen sind zwei passend gesetze Betragsstriche eine schöne Möglichkeit, dem Dilemma zu entrinnen.
15.02.2012, 16:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
also jeweils die beiden Funktionen in Betragsstriche setzen?? Wie würde ich dann den die beiden Funktionen gleichsetzen??
15.02.2012, 16:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht die Funktionen einzeln in Betragsstriche setzen, das würde zu einem anderen Ergebnis führen. Du berechnest ganz normal die Schnittpunkte, ohne Betragsstriche, um die Integrationsgrenzen zu erhalten. Angenommen wir wollen die Fläche zwischen zwei Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ berechnen, als Schnittpunkte ergeben sich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Ohne zu wissen, welche Funktion die "größere" ist, berechnen wir das Integral $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x)-g(x)\dx \end{eqnarray}$ . Was kann nun passieren? 1. $\begin{eqnarray} f(x)>g(x) \end{eqnarray}$ im betrachteten Intervall, dann haben wir damit die Fläche berechnet und sind fertig. 2. $\begin{eqnarray} f(x)<g(x) \end{eqnarray}$ im betrachteten Intervall, dann erhalten wir einen negativen Wert, was bei einem Flächeinhalt nur bedingt Sinn ergibt. Das ist aber einfach zu retten, es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x)-g(x)\dx = -\int_a^b g(x)-f(x)\dx \end{eqnarray}$ , die jeweiligen Integralwerte unterscheiden sich also nur im Vorzeichen. Betrachten wir also $\begin{eqnarray} \left\|\int_a^b f(x)-g(x)\dx\right\| \end{eqnarray}$ , so ist es egal, welche Funktion die größere ist.
15.02.2012, 17:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ja klar.... hmm ist ja logisch. Danke für die Mühe. Vielleicht noch die Frage, was passiert wenn die Funktionen 3Schnittpunkte haben. Da muss ich dann einfach von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrieren usw. also einfach wie gehabt.
15.02.2012, 17:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bei 3 Schnittpunkte vom ersten zum zweiten und vom zweiten zum dritten. Um jedes einzelne Integral kannst du dann wieder Betragsstriche stellen.
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15.02.2012, 17:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe.

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