Partielle Elastizität - zu kompliziert gedacht?

16.02.2012, 10:01	miamitraffic	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Elastizität - zu kompliziert gedacht? Meine Frage: Hallo, ich soll die partiellen Elastizitäten einer Funktion bestimmen, also die Änderung des Funktionswertes, wenn man eine der Variablen um 1% Ändert und die anderen konstant hält. 1. Frage - Das Ergebnis der Elastizität bzgl. X soll laut Lösung 3/6 sein - aber ist die Elastizität nicht Abhängig vom zu untersuchenden Punkt? 2. Muss ich wirklich nach der Formel E = x * (f' / f) vorgehen, um die Partielle Elastizität von x zu bestimmen? Die Funktion lautet nämlich $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=(x^{3}y^{4}z^{5})^{1/6} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe dann also die partielle Ableitung nach x gebildet und dabei auf folgendes Ergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} fx(x,y,z)= \frac{(3x^{2}y^{4}z^{5})}{6(x^{3}y^{4}z^{5})^{-5/6}} \end{eqnarray*}$ Dieses müsste ich dann also in die o.g. Formel einsetzen und so lange vereinfachen, bis 3/6 rauskommt? Gibt es da nicht einen einfacheren Weg / Trick? Vielleicht mit Homogenität? Ein Lambda vor das X in der Ursprungs-Funktion setzen, dieses dann rausholen und den Exponenten betrachten vielleicht? Danke und Gruß
16.02.2012, 11:17	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ja, du musst deine partielle Ableitung in die Formel einsetzen und umformen. Allerdings hast du einen kleinen Fehler in der Ableitung, das Minus im Exponenten im Nenner ist falsch. Setz einfach mal ein, man sieht schnell, warum da 3/6 rauskommt, da ist nichts kompliziertes dabei. Sieht vielleicht auf dem ersten Blick so aus. Übrigens sind Elastizitäten wirklich üblicherweise von dem untersuchten Punkt abhängig - hier aber nicht. Ist ein "schöner" Sonderfall.
16.02.2012, 11:35	miamitraffic	Auf diesen Beitrag antworten »
... Okay, ich sehe gerade, bei obiger Aufgabe kann man das wirklich anhand der Exponenten von Lambda erkennen, welches man vor die zu untersuchende Variable setzt und dann ausklammert. Aber nun stehe ich vor einigen anderen Problemen: Bei allen anderen Übungsaufgaben ist das Ausklammern von Lambda nicht möglich, weil Summen auftreten. Ich habe aber Punkte gegeben, an denen ich Untersuchen soll. Beispiel: Elastizität bezüglich x ermitteln: Nehmen wir mal die Funktion $\begin{eqnarray} f (x,y) = \sqrt{(2x+y)(2y+x)} \end{eqnarray}$ . Da müsste ich dann die Ableitung nach x erstellen: $\begin{eqnarray} f'x = \frac{1}{2\sqrt{(2x+y)(2y+x)} }* [(2)(x+2y) + (2x+y)(1)] \end{eqnarray}$ und vereinfachen: $\begin{eqnarray} f'x = \frac{2x+4y+2x+y}{2\sqrt{(2x+y)(2y+x)} } \end{eqnarray}$ und nochmal vereinfachen: $\begin{eqnarray} f'x = \frac{4x+5y}{2\sqrt{(2x+y)(2y+x)} } \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich die Formel: $\begin{eqnarray} E= x* \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray}$ benutzen. Also Einsetzen von x=10 (war gegeben) $\begin{eqnarray} f'x = \frac{40+5y}{2\sqrt{(20+y)(2y+10)} } \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren unter der Wurzel: $\begin{eqnarray} f'x = \frac{40+5y}{2\sqrt{40y+200+2y²+10y} } \end{eqnarray}$ und Zusammenfassen: $\begin{eqnarray} f'x = \frac{40+5y}{2\sqrt{2y²+50y+200} } \end{eqnarray}$ So. Jetzt setze ich noch x=10 in f(x) ein: $\begin{eqnarray} f(10) = \sqrt{(20+y)(10+2y)} \end{eqnarray}$ Und fasse zusammen: $\begin{eqnarray} f(10) = \sqrt{2y²+50y+200} \end{eqnarray}$ Soo. Und JETZT würde ich das alles in die Formel einsetzen: $\begin{eqnarray} E = \frac {10 \frac{40+5y}{2\sqrt{2y²+50y+200} }}{\sqrt{2y²+50y+200} } \end{eqnarray}$ Ich teile also einen Bruch mit einem Ausdruck im Nenner durch diesen Ausdruck, also schreibe ich ihn multiplikativ in den Nenner, was zur Folge hat, dass dort eine Wurzel zum Quadrat steht, also das Wurzelzeichen wegfällt. Dann nehme ich also alles mit der 2 im Nenner mal und komme auf: $\begin{eqnarray} E = \frac {400+50y}{4y²+100y+400} \end{eqnarray}$ Und an dieser Stelle kann und brauche ich gar nicht weiterrechnen, weil die Lösung nämlich lauten sollte: $\begin{eqnarray} 0,5x * \frac{2}{x²+y²}+0,5x* \frac{1}{x+2y} \end{eqnarray*}$ Also irgendwo muss ich einen größeren Denkfehler drin haben, den so viel Rechenarbeit, wie ich mir da gemacht habe, ist doch eigentlich utopisch, oder? Wer kann mir helfen, ihn zu finden? Danke!
20.02.2012, 10:13	miamitraffic	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht nochmal ein anderes Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \sqrt{x²+xy} \end{eqnarray}$ Abgeleitet nach x bzw y: $\begin{eqnarray} fy = \frac{x}{2\sqrt{x²+xy} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fx = \frac{2x+y}{2\sqrt{x²+xy} } \end{eqnarray}$ So, wenn ich jetzt fy in die Formel E=y* (fy/f) einsetze, komme ich auf das richtige Ergebnis: $\begin{eqnarray} Ey = \frac{xy}{2\sqrt{x²+xy} } \end{eqnarray}$ Aber nach Einsetzen und umformen bzgl x ergibt sich nicht etwa die richtige Lösung $\begin{eqnarray} Ex = 0,5+0,5x\frac{1}{x+y} \end{eqnarray}$ sondern: $\begin{eqnarray} Ex = \frac{2x²+xy}{2x²+2xy} \end{eqnarray*}$ , was scheinbar nicht das gleiche ist. Habe ich irgendwo falsch abgeleitet oder gibt es Stolperfallen beim Vereinfachen? Danke!
21.02.2012, 11:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten Post: Dein E (für x = 10) ist vollkommen richtig, die Musterlösung bezieht sich offensichtlich auf eine andere Aufgabenstellung. ____________________ Zum zweiten Post: Da hast du einen Fehler, denn beim Resultat der Elasitizitäten Ey und Ex steht im Nenner KEINE Wurzel mehr, sondern nur noch $\begin{eqnarray} 2(x^2 + xy) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_y = \frac {xy} {2(x^2 + xy)} = \frac y {2(x + y)} \end{eqnarray}$ Die Musterlösung für Ex ist zutreffend (dort durch x kürzen!), denn $\begin{eqnarray} E_x = \frac {(2x + y)x} {2(x^2 + xy)} = \frac {2x + y} {2(x + y)} \end{eqnarray}$ mY+

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