Nullstelle eines Polynomes berechnen - Seite 2

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Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm? Die Aufgabe haben wir doch gerade gelöst? Big Laugh
Wir haben sie nur zu



umgeformt.


Mathematiker sind faul, in der Tat, aber bitte schreibe die Nullstellen getrennt auf Augenzwinkern .
Als Lösung: N(0,2/0) -> N(0|0) und N(2|0).
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, verdammt. Falsch geguckt. Ja, stimmt natürlich. Gut, ich übe dann noch ein wenig. Wenn ich nochmal Fragen hab, darf ich nochmal nerven? Big Laugh

Danke aufjeden Fall. smile
 
 
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gerne Augenzwinkern .
Wenns eine komplett neue Frage ist, dann aber bitte in einem neuen Thread, damit
die Sache übersichtlich bleibt.


Viel Spaß beim Üben
Wink
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage.

Bei dieser Aufgabe hier:

(x-2)^2 - 1

habe ich als Nullstellen raus: N1(-1/0); N2 (-3/0)

Stimmt das? Weil in den Lösungen ist es genau umgekehrt: +1 und +3.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du dich vertan. Wenn du die 1 auf die andere Seite bringst und vorgest wie
gerade eben, musst du ja einmal zur 1 und einmal zur -1, die 2 der linken Seite addieren Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok, danke. Jetzt hab ich's!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Also hier stocke ich wieder:

-0,5 (x+1)^3 - 2

kommt nur eine Nullstelle 1?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nope, das Ergebnis ist leider nicht so schön Augenzwinkern .

Hier setze wieder die Funktion Null: f(x)=0.
Dann bringe wie gehabt die 2 und die -0,5 auf die andere Seite und ziehe die Wurzel.
Da wir eine ungerade Potenz haben, spielt das Vorzeichen sehr wohl eine Rolle.
D.h. du hast hier nur ein Ergebnis Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, danke
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Ähm? Die Aufgabe haben wir doch gerade gelöst? Big Laugh
Wir haben sie nur zu



umgeformt.


Mathematiker sind faul, in der Tat, aber bitte schreibe die Nullstellen getrennt auf Augenzwinkern .
Als Lösung: N(0,2/0) -> N(0|0) und N(2|0).


Nochmal zu dieser Aufgabe. Wie schreibt man die Rechung am Ende dafür auf?

Also ich habe dann (x+1)=+/-1

Dann setze ich gleich Null? (x+1)=0

Kann mir jemand eine Beispielrechnung geben? Ich weiß nicht, wie man das aufschreiben soll. Auf die Lösung bin ich ja aber irgendwie gekommen. Hab schon alles ausprobiert (nach x auflösen, etc.)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Funktion f(x)=-(x+1)^4+1.
Du willst die Nullpunkte von f(x) finden, also f(x)=0
Wir rechnen:

-(x+1)^4+1=0
-(x+1)^4=-1
...
x=0
und
x=2

Nullpunkte sind also N(0|0) und N(2|0).


Für den Schnittpunkt mit der y-Achse gilt f(0)=?.
f(0)=-(0+1)^4+1=?
-(1)^4+1=-1+1=0

-> Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0|0).


Klar? smile
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dafür. Aber ich meinte eigentlich, dass ich nach diesem Schritt hier nicht weiterkomme:

(x+1)=+/-1

-> Wie auf Nullstelle kommen?

Wie rechnet man weiter? Was nimmt man plus 1, was minus 1? Das ist so wirr, da komme ich so schnell durcheinander. Deswegen wäre eine Beispielrechung (die man auf alle Aufgaben dieser Art anwenden kann) sehr hilfreich.

Habs wohl wieder vergessen, weiß auch nicht...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einfach zwei Rechnungen zu machen.
Du erhälst ja auch zwei Ergebnisse.
D.h. wenn du bei diesem Schritt bist:
(x+1)=+/-1
splittest du die Aufgabe und schreibst
(x+1)=+1 -> x1=0
(x+1)=-1 -> x2=-2
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Nur: Es kommt bei der letzten Rechnung x+1=-1

-2 raus. Als Nullstelle wird aber 2 angegeben. Wie ist das wieder zu erklären?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ich sehs oben auch grad. x=2 ist falsch. Es muss x=-2 sein. Mach eine Probe Augenzwinkern .

-(x+1)^4+1=0
-(-2+1)^4+1=0
-(-1)^4+1=0
-1+1=0
0=0

Vllt ein Druckfehler oder du hast es falsch abgeschrieben Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also liegen die Nullpunkte bei N(0|0) und N(-2|0)?

In den Lösungen steht +2, dann hat sich mein Lehrer wieder vertan. Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup da hat er sich vertan, deine Nullpunkte passen Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, vielen Dank nochmals! smile

Dann muss ich aber nochmal diese Aufgabe hier überprüfen:

f(x)= 0,5 (x+1)^3 - 2

kommt das hier bei mir raus:

(x+1)^3 = 4 / 3. Wurzel von 4

x+1 = 1,58


Dann minus 1 und ich habe die Nullstelle? Als Lösung kommt 1 raus...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
x+1 = 1,58
Dann minus 1 und ich habe die Nullstelle?


Das ist richtig Freude .
Falsch ist jedoch wieder die Lösung. x=1 kommt da nicht raus, sondern...? Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

0,58? Kann man das aufrunden auf 0,6? Dann ist die vorgegebene Lösung auf dem Blatt vom Lehrer wieder falsch?

Nur damit ich das nochmal verstehe: Bei der Aufgabe vorhin gab es 2 Nullstellen, weil ich einmal plus 1 und einmal minus 1 hatte. Weshalb ist das hier z.B. nicht auch so? Weil in der Klammer eine Plus-Zahl steht, also (x+1) und nicht (x-1)?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

0,58 selbst ist schon gerundet, ich würde nicht noch mehr runden, was das Ergebnis
noch ungenauer macht.


Hmm, das kann man leider nicht in eine Regel verfassen, da du nicht alle Zahlen kennst.
Es gibt mehr als nur die reellen Zahlen Augenzwinkern .
Man kann nur sagen -> es gibt maximal so viele Nullstellen wie der Grad der Funktion ist.
Hast du f(x)=x³+..., hast du maximal 3 reelle Nullstellen. Wie viele es genau sind, kann
man der Funktion bei bloßem Anschaun nicht ansehen.

Da hab ich dir also leider keine Merkregel.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuch nochmal zusammenzufassen (wie ich es mir vllt merken kann): Hat man als Nullstelle eine reelle Zahl raus, also z.B. 1 oder 2, dann kann man davon ausgehen, dass es auch eine zweite gibt. Also das man die Aufgaben wieder so splittet:

(x+1)= +/-1

Bei einer Zahl wie 0,58 macht man dies dann nicht, da es keine reelle Zahl ist sondern eine mit Kommastellen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Eine reelle Zahl ist der größte Zahlenraum den du kennst Augenzwinkern .
Da sind "Kommazahlen", irrationale Zahlen (z.B. e und pi) drin enthalten.

Zitat:
Hat man als Nullstelle eine reelle Zahl raus, also z.B. 1 oder 2, dann kann man davon ausgehen, dass es auch eine zweite gibt. Also das man die Aufgaben wieder so splittet:

Auf keinen Fall. Hast du f(x)=3x+3, dann hast du nur eine Nullstelle...bei x=-1.
Wenn man sich sowas überhaupt merken kann, dann nur so:

Hast du eine Funktion zweiten Grades hast du bis zu zwei Nullstellen.
Hast du eine Funktion dritten Grades hast du bis zu drei Nullstellen.


Aber das kann man der Funktion halt nicht direkt ansehen. Siehe deine Aufgabe
-> f(x)= 0,5 (x+1)^3 - 2

Da hast du auch eine Funktion dritten Grades, aber nur eine reelle Nullstelle (x=0,58).
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso könnte bei der vorhin besprochenen Aufgabe dann nicht auch -2,58 als Nullstelle sein?

x+1 = -1,58 / + 1,58

x+2,58 = 0 /-2,58

x= -2,58
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten vorher zwei Lösungen, weil wir das Quadrat beachten müssen!
Das Quadrat schert sich nicht, ob drunter - oder + steht -> in beiden Fällen haben
wir das gleiche Ergebnis.
Wenn wir aber eine ungerade Potenz haben (was wir hier hatten) ist sehr wohl von
Belang, welches Vorzeichen wir haben. Deswegen haben wir hier genau eine Lösung! Augenzwinkern
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, in meinen Worten:

Wenn ich (x+1)^3 habe, ist das eine ungerade Potenz -> eine Lösung.

Wenn ich (x+1)^4 habe, zwei gleiche Lösungen (mit + und - hinterher Nullstellen ausrechnen)

Wenn ich (x+1)^5 habe, ist das eine ungerade Potenz -> eine Lösung

Wenn ich (x+1)^6 habe, zwei gleiche Lösungen (mit + und - hinterher Nullstelle ausrechnen)

So richtig?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub mir doch, du kannst keine Regeln aufstellen dafür.
Du kannst allerhöchstens abschätzen.

Alles was du zur geraden Potenz gesagt hast, passt hier nicht.
Hier hast du auch nur eine Lösung.
Bsp.: (x+1)^4=0 |Wurzel
x+1=+/-0=0

Denn wie du siehst, +/-0=0.
Wäre da keine 0 auf der anderen Seite, würde deine "Regel" gelten.
Da macht das Vorzeichen einen Unterschied.


Bei den Ungeraden hast du aber recht...
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, wenn ich das mit den Ungeraden weiß, reicht das doch im Grunde genommen. Alles weitere sehe ich ja dann an der Rechnung. Nochmal: Danke. Jetzt habe ich es (vorerst) verstanden. ^^

Jetzt gibt es hier noch den umgekehrten Weg; von der Zeichnung ablesen, wo die Nullstellen liegen, etc. Ich melde mich dann, wenn es Probleme gibt, ja? ^^
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Alles weitere sehe ich ja dann an der Rechnung

Man sieht alles an der Rechnung ROFL .

Wenns noch Fragen gibt gerne melden, ich versuch dann mein Bestes es zu erklären smile .

Bis später
Wink
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich melde mich noch mal zurück. Bei dieser Aufgabe hier:

f(x)= 4x^3 + 12x^2 - 7x

bin ich hinterher zu vier Nullstellen gekommen:

N1 (-3,5 /0) -> -3,5 durch Ausprobieren nach der verkürzten Polynomdivison
N2 (0/0) -> 0, da ich die verkürzte Polynomdivison angewendet habe, also die Gleichung nachher gleich null gesetzt habe -> 4x^2 + 12x - 7 = 0
N3 (0,449 bzw. aufgerundet 0,5 / 0) -> mittels am Ende p/q-Formel
N4 (-4,449 bzw. aufgerundet -4,5 / 0) -> mittels am Ende p/q-Formel

In den Lösungen steht von letzterer Nullstelle jedoch nichts. Habe ich wieder einen Fehler gemacht?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du zuerst gemacht:
N2 (0/0) -> 0, da ich die verkürzte Polynomdivison angewendet habe,
also die Gleichung nachher gleich null gesetzt habe -> 4x^2 + 12x - 7 = 0

?

Das ist richtig. Aber warum hast du dann hier "probiert"?
Zitat:
N1 (-3,5 /0) -> -3,5 durch Ausprobieren nach der verkürzten Polynomdivison

Da hättest du doch schon hier: 4x^2 + 12x - 7 = 0 mit der pq-Formel ran können?!

Von welcher Formel bist du auf N3 und N4 gekommen? Hast du beachtet, dass bei
der pq-Formel vor dem x² eine 1 stehen muss?




Und wie ich dir schon auftrug, dir zu merken: Eine Funktion n-ten Grades kann maximal n reelle Nullstellen haben.
Bei uns also max. 3 Nullstellen...du aber hast 4 verwirrt .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich hier 4x^2 + 12x - 7 mit der p/q-formel rangehe, habe ich hinterher als Nullstelle -0,5 und -11,5. Kann also nicht sein.

Oder ich wandle von der allgemeinen Form, die ich ja dann habe in die Linearfaktorform um? Dann hätte ich die zwei Nullstellen...

Aber dann sieht meine Rechnung so aus:

4x^2 + 12 x - 7 /: 4

f(x) : 4 = x^2 + 3x - 1,75

f(x) : 4 = ...

Nur welche Zahl ergibt sowohl mit + als auch mit * -1,75 und 3?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Was machste denn?^^

Zitat:
Wenn ich hier 4x^2 + 12x - 7 mit der p/q-formel rangehe,
habe ich hinterher als Nullstelle -0,5 und -11,5. Kann also nicht sein.

Das ist auch nicht erlaubt. Wie gesagt: Vor dem x² eine 1 bitte! Augenzwinkern

Zitat:
4x^2 + 12 x - 7 /: 4

Der Ansatz ist zwar richtig, aber wir haben eine Gleichung (Wie du es auch im nächsten
Schritt schreibst.).
Allerdings stande da grade noch ne 0 auf der (bei dir) linken Seite. 0/4=?^^
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hach, verdammt. Ja den Schritt mit der 1 vor dem x^2 habe ich vergessen. Dann geht alles, ja.

Danke smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder gern Big Laugh .

Wink
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich muss mich doch noch mal melden

Es geht um folgende Aufgabe:

x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x

Zunächst setze ich die gleich Null, d.h. da habe ich schonmal die erste Nullstelle (0/0)

x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x = 0 / :x

Dann teile ich durch x und hab folgende Gleichung:

x^3 + x^2 + 2x + 2

Dann habe ich durch Raten die 2. Nullstelle erraten, in diesem Fall -1.

Dann habe ich folgende Gleichung:

x^3 + x^2 + 2x + 2 : (x+1)

Dann normal mit Polynomdivision weiter, sodass ich am Ende folgendes raus hab: x^2 + 0x + 2

Setze ich das in die pq-Formel ein, kommt nichts raus, da man von -2 ja nicht die Wurzel nehmen kann.

Heißt ich habe 2 Nullstellen (0/0) und (-1/0)

In den Lösungen steht aber noch was von 1,414 und -1,414.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig gerechnet. Freude

Zitat:
In den Lösungen steht aber noch was von 1,414 und -1,414.


Das passt zu der von dir genannten Funktion f(x)=x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x nicht Augenzwinkern .
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke. Ist ja eigentlich ein gutes Zeichen, wenn ich die Fehler in den Lösungen vom Lehrer erkenne, oder? ^^
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