Beweis durch voll. Induktion

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16.02.2012, 16:06	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch voll. Induktion Hi , könntet ihr mir vielleicht behilflich sein bei einer Aufgabe. Das Prinzip der voll. Induktion hab ich schon verstanden nur komme ich bei dieser Aufgabe bisschen ins Tüdeln. Für welche natürlichen Zahlen gilt $\begin{eqnarray} 3^{n} > n^{2} >4n + 1 \end{eqnarray}$ Durch ausprobieren weiss ich, dass es für $\begin{eqnarray} n \geq 5 \end{eqnarray}$ gilt. Nur wie kann ich das beweisen ?
16.02.2012, 16:11	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das ganze in zwei Teile aufteilen: $\begin{eqnarray} (1)\qquad 3^n>n^2<br /> <br /> (2)\qquad n^2>4n+1 \end{eqnarray}$ Eine von den beiden Teilen kann man dann auch ohne Induktion zeigen.
16.02.2012, 19:10	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es (überhaupt) Induktion sein ? Es ist $\begin{eqnarray} n^2 - 4n - 1 = (n-2)^2 - 5 > 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 5 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} (n-2)^2 \end{eqnarray}$ str.mon steigend dort ist und $\begin{eqnarray} (5-2)^2 - 5 = 4 > 0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. $\begin{eqnarray} \frac{ln(x)}{x} \end{eqnarray}$ ist str.mon fallend für $\begin{eqnarray} x \geq 3 > e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{ln(3)}{2} > \frac{ln(3)}{3} > \frac{ln(n)}{n} \end{eqnarray}$ Dies impliziert $\begin{eqnarray} n ~ ln(3) > 2 ~ln(n) \end{eqnarray}$ ,also $\begin{eqnarray} 3^n > n^2 \end{eqnarray}$
16.02.2012, 20:07	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, so kann man es auch zeigen. Es besteht nur das Problem, dass die ln Funktion nicht bei allen im ersten Semester eingeführt wird, so beispielsweise auch bei mir. Entscheidend, wie man vorgeht wäre bei dieser Aufgabe wohl der Aufgabentext
16.02.2012, 21:57	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Wenn die Erstsem. ln(x) nicht kennen, versuche ich es alternativ mit $\begin{eqnarray} 3 = 2 + 1 \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} 3^n = 1 + 2~n + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^2 + \cdots = 1 + 2~n^2 + \cdots > n^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n > 2 \end{eqnarray}$
16.02.2012, 22:13	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte er es nicht versuchen, anstatt du SusiQuad? Ibn Batuta
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17.02.2012, 14:53	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe keine Ahnung was da gemacht wurde. Also ich hab's mal mit der voll. Induktion versucht für die erste Ungleichung, aber kein Schimmer was ich da raus bekommen habe
17.02.2012, 15:18	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch voll. Induktion Versuchs mal über folgenden Zwischenschritt: $\begin{eqnarray} <br /> 33^{n}> 3n^{2} \Rightarrow <br /> 33^{n}> n^{2}+n^{2}+n^{2}<br /> \end{eqnarray*}$
17.02.2012, 15:26	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst bei deinem Induktionsschritt nicht mit $\begin{eqnarray} 3^{n+1}>(n+1)^2 \end{eqnarray}$ anfangen, denn das ist es was du zeigen willst. Die Idee $\begin{eqnarray} 3^{n+1}=3\cdot 3^n>\ldots \end{eqnarray}$ ist aber nicht verkehrt, wenn du mit dem weitermachst, was klauss vorgeschlagen hat (zumindest die Idee her, da man hier einfach mit einer Ungleichungskette argumentieren kann.)
17.02.2012, 17:08	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die erste Ungleichung gelöst, nun ist nur noch die zweite Ungleichung zu zeigen für alle n siehe Anhang, vielleicht habt ihr noch Anmerkungen dazu ?
17.02.2012, 17:16	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Zeile stimmt ja nun nicht!
17.02.2012, 17:26	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm stimmt, also für n = 1 auf jeden Fall nicht. Was habe ich da denn falsch gemacht ? huups , ja klar, dass heisst $\begin{eqnarray} n^{2} + n^{2} + n^{2} \end{eqnarray}$
17.02.2012, 17:42	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler beginnt bereits beim einsetzen der IV in der vorletzten Zeile. (da darf kein "=" stehen.) Grüße
17.02.2012, 17:56	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann eben $\begin{eqnarray} 3\cdot 3^{n} >_{(IV)} 3 \cdot n^{2} \end{eqnarray}$ alles andere ist richtig ?
17.02.2012, 18:02	Crisp	Auf diesen Beitrag antworten »
jo
17.02.2012, 18:04	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n^2 + n^2 + n^2 < n^2 +2n +1 \end{eqnarray}$ für n = 1
17.02.2012, 18:07	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
n = 1 war die Induktionsverankerung, jetzt sind wir schon einen Schritt weiter.
17.02.2012, 18:28	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
soll das heissen, dies gilt nur wenn n größer gleich 2 und jetzt kann ich mit der anderen ungleichung ab n = 2 anfangen ? hab irgendwie das Gefühl ich mach ne menge denkfehler, obwohl sehr einfach ist
17.02.2012, 19:04	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Ungleichung war ja für n+1 zu beweisen, also n mindestens 2, also gilt die ursprüngliche (linke) Ungleichung nun ab n = 1 für alle n und dessen Nachfolger, denn wenn wir n = 2 setzen, gilt sie auch wieder für n+1 usw.. Nun kannst Du mit der rechten Ungleichung anfangen, auch wieder bei 1 bis das kleinste n gefunden ist, für das die Ungleichung erfüllt ist. Dann wie gehabt, weiteres sehen wir später.
17.02.2012, 21:20	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe Anhang
17.02.2012, 21:25	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Glück, dass ich heute ausnahmsweise so lang im Forum bin ;-) Bitte die letzten 3 Zeilen komplett streichen und die Klammern auf beiden Seiten nochmal korrekt ausmultiplizieren.
17.02.2012, 21:41	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ha Ha Ja stimmt da hab ich Schwein gehabt. Ich sehe da aber nichts Verkehrtes ?
17.02.2012, 21:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich machs mal grad selbst zur Beschleunigung: (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 (binomische Formel) 4(n + 1) + 1 = 4n + 4 + 1 = 4n + 5 Bitte von hier aus den Beweis fortsetzen.
17.02.2012, 21:47	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
n^2 + 2n + 1 > 4n + 5 mit IV : n^2 > 4n + 1 nur noch zu zeigen 2n+1 > 4 und das ist mit n größer gleich 2 gegeben
17.02.2012, 21:53	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Gratuliere (genau genommen würde 2n + 1 >= 4 reichen). Nun bitte noch die Werte von n angeben, für die die Gesamtungleichung gilt. Die Beziehung von 3^n zu 4n+1 folgt aus Transitivität.
17.02.2012, 22:05	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn du mir nicht glaubst es tut mir auch leid, aber ich verstehe den Zusammenhang nicht. Erste Ungleichung haben wir anderes ausgerechnet als die Zweite und nun komme ich dadurch durcheinander.
17.02.2012, 22:17	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Transitivität heißt: Wenn a > b und b > c dann ist auch a > c Also mußt Du nicht noch einen 3. Beweis 3^n > 4n + 1 führen. Nur gilt die linke Ungleichung nicht für dieselben n wie die rechte. Also müssen die n angegeben werden, für die die gesamte Ungleichung gilt.
17.02.2012, 22:29	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde morgen weiter machen, will auch nicht dich hier zu sehr nerven. Danke für deine Mühe. ich werde mal schauen, ob ich das von selbst verstehe.
17.02.2012, 22:32	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel Erfolg. Ich bin dann eh erst wieder am Mittwoch hier.
17.02.2012, 22:43	Matzemathiker	Auf diesen Beitrag antworten »
DANK dir trotzdem vielmals. ich versuch's mal. vielleicht klappt's . schönen Abend noch

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