Extrempunkte unter Nebenbedingung

16.02.2012, 16:29

flightgolfer

Extrempunkte unter Nebenbedingung

Hallo,
ich soll die Extrempunkte der Funktion

$\begin{eqnarray*} f (x,y,z) = x²+xy+z² \end{eqnarray*}$

udNb: x+y+z=10
sowie x=2y

bestimmen.

Normalerweise stellt man am einfachsten die Nebenbedingung nach 0 um, und addiert sie mit dem Faktor Lambda zu der zu untersuchenden Funktion dazu.

Da hier 2 NB Vorliegen, dacht ich mir, man macht das Besser mit Variablensubstitution, also eine Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und dann in die Funktion einsetzen. Anschließend Herkömmliche Extremwertbestimmung mit 2 Variablen. Problem hierbei: Ich kann dann also 2 partielle Ableitungen bilden, =0 setzen und somit Kandidaten für z und y bestimmen. Diese wären dann 0 und 0.
Wegen 1.NB müsste dann x=10 sein, was aber nicht mit der 2.NB konform ist.

Ich finde hier also keine Kandidaten....

Lagrange kenne ich nur mit einer Nebenbedingung.
Ich habe dann mal die 2.NB in die 1.NB eingesetzt, das Resultat nach 0 aufgelöst und die Lagrangefunktion:

L=f(x,y,z) + Lambda (Nebenbedingung)

aufgestellt, erhalte eine Beziehung zwischen 2 Variablen, aber damit bekomme ich dann immer noch kein Ergebnis...

Könnt ihr mir erklären, wie ihr hier vorgehen würdet?

Danke!

16.02.2012, 18:21

lgrizu

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RE: Extrempunkte unter Nebenbedingung
Lagrange mit den Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} g_i(\vec{x})=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L(\vec{x},\lambda_1, \lambda_2,....,\lambda_k)=f(\vec{x})- \sum_{i=1} \lambda_i g_i(\vec{x}) \end{eqnarray*}$

16.02.2012, 18:40

ThomasL

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RE: Extrempunkte unter Nebenbedingung
die Variablensubstitution funktioniert hier auch (und ist einfacher als Lagrange): die beiden Nebenbdingungen bilden ein lineares Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x+y+z=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2y=0 \end{eqnarray*}$

wenn du nun die allgemeine Lösung davon aufstellst (eine Gerade), kannst du diese in die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann entsteht eine neue Funktion mit nur noch einer Variablen.

20.02.2012, 09:36

flightgolfer

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Danke, probier ich beides mal grade

20.02.2012, 12:27

flightgolfer

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RE: Extrempunkte unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von lgrizu
Lagrange mit den Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} g_i(\vec{x})=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L(\vec{x},\lambda_1, \lambda_2,....,\lambda_k)=f(\vec{x})- \sum_{i=1} \lambda_i g_i(\vec{x}) \end{eqnarray*}$

Das Problem ist hierbei, dass f nicht nur von x, sondern auch von y und z abhängt.

Bzgl: LGS:

Ich habe ja nur 2 Gleichungen, komme also auf kein konkreter Ergebnis, oder?

20.02.2012, 12:32

lgrizu

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RE: Extrempunkte unter Nebenbedingung
da steht $\begin{eqnarray*} f(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ , was wohl mehrere Variablen implzieren sollte, deshalb verstehe ich den Einwand nun gar nicht......

20.02.2012, 14:31

flightgolfer

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Diese Notation war mir nicht geläufig.

Das heißt, ich führe also mehrere Lambda ein, die ich nicht zusammenschmeissen kann?

Bei einer Nebenbedingung führt man ja nur 1 Lambda ein, kann beide Bed. 1. Ordnung nach diesem einen Lambda umstellen, und gleichsetzen - was mache ich bei mehreren, VERSCHIEDENEN Lambda?

20.02.2012, 14:45

lgrizu

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Dir ist die Bezeichnung eines Vektors nicht bekannt? verwirrt

Das funzt ganz analog, differenzieren nach den Variablen und den verschiedenen Lambda und GS lösen.

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