Konvergenz einer Reihe

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16.02.2012, 17:14	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\sqrt{k^2+1}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: mit dem cauchy-kriterium: n > m $\begin{eqnarray} \left\|\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k^2+1}} - \sum\limits_{k=1}^{m}\frac{1}{k\sqrt{k^2+1}}\right\| = \left\|\sum\limits_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k^2+1}}\right\| = \sum\limits_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k^2+1}} \end{eqnarray}$ wie komm ich hier weiter? :-(
16.02.2012, 17:20	n7eule	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich richtig, dass es nur darum geht Konvergenz zu zeigen, oder soll auch der Grenzwert bestimmt werden? Kennst du außer dem Cauchy Kriterium noch andere Kriterien für die Konvergenz von Reihen, wie Wurzel- oder Quotienenkriterium, oder Majorantenkriterium?
16.02.2012, 17:27	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die kenn ich alle. obwohl wir die nur behandelt haben aber nie wirklich geübt. heißt das, dass ich eines dieser verfahren jetzt anwenden muss? also dass es mit dem cauchy kriterium gar nicht (immer) klappt? lg Eisvogel
16.02.2012, 17:41	n7eule	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Cauchykriterium von klappen zu sprechen ist etwas ungünstig: Wenn du es schaffst da nachzuweisen, dass der Term für bestimmte n,m kleiner als vorgegebenes epsilon ist, dann super, aber das geht oft nur mit Tricks. Die anderen Kriterien sind da meist handlicher... ...so auch in diesem Fall. Ein erster sinnvoller Schritt erscheint mir, eine einfachere Majorante zu wählen (welche das ist drängt sich ja geradezu auf). Für diese ist die Konvergenz dann via Quotienenkriterium leicht zu zeigen.
16.02.2012, 17:59	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
danke n7eule. als majorante würde ich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ nehmen. allerdings weiß ich gar nicht, ob die überhaupt konvergent ist. stimmt das so: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{(k+1)^2}{k^2}\right\| = \frac{k^2+2k+1}{k^2} = 1+ \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt k noch gegen unendlich laufen lassen?
16.02.2012, 18:09	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray} <br /> k\sqrt{k^{2}+1 }=\sqrt{k^{4}+k^{2} } > \sqrt{k^{4} }\Rightarrow \frac{1}{k\sqrt{k^{2}+1 } }<\frac{1}{k^{2} } <br /> \end{eqnarray}$ Also ist Deine Reihe eine Minorante zu der als konvergent bekannten Reihe $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$ Oder müßtest Du letzteres auch extra beweisen?
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16.02.2012, 18:11	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe ja, hab ich in meinem beitrag versucht, aber bei $\begin{eqnarray} \left\|\frac{(k+1)^2}{k^2}\right\| = \frac{k^2+2k+1}{k^2} = 1+ \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ hängen geblieben :-)
16.02.2012, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
vergebliche Bemühungen Quotienten- und Wurzelkriterium laufen ins Leere bei Reihen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \end{eqnarray}$ mit einer gebrochen rationalen Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ - da kommt immer (!) als Grenzwert der Quotienten bzw. Wurzeln der Wert 1 heraus, und damit keine Entscheidungshilfe, so auch hier. Nein, auch $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ kann man mit dem Majorantenkriterium+Teleskopreihe abschätzen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)k} = 1 + \sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = 2 \end{eqnarray}$ .
16.02.2012, 18:23	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mods: Bitte löschen
16.02.2012, 18:37	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Mit dem Reihen-Integral-Kriterium kann man zeigen, dass Reihen der Form $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{n} } <br /> \end{eqnarray}$ für alle n > 1 konvergieren.

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