Funktionsuntersuchung

16.02.2012, 22:22

SpanischLiebling

Funktionsuntersuchung

Ich bereite mich gerade auf das kommende Vorabitur vor und habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung (Kurze Zusammenfassung):

- Person beobachtet von einer 30m hohen Düne den Strand. Der Hang der Düne kann im Querschnitt durch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+30)e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden.

a) Welcher Bereich ist vor neugierigen Blicken geschützt, wenn die Augenhöhe 1,80m beträgt?
b) In welche Höhe müssen sich die Augen min. befinden, damit der ganze Hang einsehbar ist?

Erst einmal nur zur Aufgabe a. Kann es sein, dass ich eine Tangente bei x=0 und y=31,8m berechnen muss? Und die (x/y)-Werte des Graphen, welche die Funktion schneiden, sind diese Bereiche ?

16.02.2012, 22:32

planck1885

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Hi,

du musst erstmal den Scheitelpunkt der Funktion bestimmen.

16.02.2012, 23:01

SpanischLiebling

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Moment, irgendetwas mach ich aber falsch.

Die 1. Ableitung zur Bestimmung der Steigung an der Stelle x=0 lautet: $\begin{eqnarray*} fstrich(x)=e^{-0,1x}(-0,3x) \end{eqnarray*}$ , falls ich mich nicht irre. Die Tangente müsste dann bei x=0 folgendermaßen lauten: $\begin{eqnarray*} t(x)=-0,3x+31,8 \end{eqnarray*}$

Aber komischerweise berührt meine Tangente den Graphen gar nicht. Weiss jemand wo mein Fehler liegt? Kann es vielleicht auch sein das ich den falschen Ansatz mache?

Gruß.

16.02.2012, 23:06

planck1885

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Die Ableitung von f(x) zu bestimmen ist schonmal gut.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+30)e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,3e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

16.02.2012, 23:16

SpanischLiebling

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Zitat:

Original von planck1885
Die Ableitung von f(x) zu bestimmen ist schonmal gut.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+30)e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,3e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

Lautet die 1. Ableitung den nicht
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,3xe^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

16.02.2012, 23:49

SpanischLiebling

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Hat denn niemand eine Ahnung was ich machen muss? Sofern meine Ableitung stimmt, kommt bei der Steigung 0 nun raus -.- was aber gar keinen Sinn macht! unglücklich

17.02.2012, 00:23

Iorek

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Zuerst einmal: die Ableitung von planck1885 ist falsch, die von dir aufgeschriebene ist korrekt. Was die weitere Aufgabe angeht, muss ich aktuell noch passen, ich bastel aktuell selber noch an einer Möglichkeit, Aufgabenteil a) zu lösen.

17.02.2012, 00:29

SpanischLiebling

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Ich habe mir gedacht die Schnittpunkte der ,,Sichtgeraden" an der Funktion zu berechnen, aber die Werte scheinen leider nicht mit dem Funktionsgraphen zu stimmen. Denn die Tangentengleichung verläuft vollkommen falsch.

17.02.2012, 01:17

SpanischLiebling

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Die Aufgabe scheint nicht neu zu sein.

So, ich habe nun eine korrekte Lösung, aus einem anderen Forum gefunden die wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} (3x+30)*e^{-0,1x}=-0,3x*e^{-0,1x}*x-31.8 \end{eqnarray*}$

Durch Näherungsverfahren ergibt sich tatsächlich:

4,9 und 27!

Also scheint meine Idee mit dem gleichsetzen vollkommen inordnung zu sein, aber ich verstehe nicht weshalb hier mit $\begin{eqnarray*} -0,3x*e^{-0,1x}*x-31.8 \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt wird. Oder mit anderen Worten ausgedrückt. Wie bestimme ich die Geradengleichung der Sichtlinie ? Anscheinend ist es keine Tangente an x=0.

17.02.2012, 01:45

Iorek

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Langsam lichten sich die Nebel...ich muss zugeben, das war eine verdammt schwere Geburt (Danke an meine Freundin, die einen Konstruktionsfehler in meiner Rechnung aufgedeckt und verbessert hat).

Du scheinst die Aufabe bei onlinemathe gefunden zu haben, mMn ist dort ein Tippfehler und es sollte $\begin{eqnarray*} +31.8 \end{eqnarray*}$ sein.

Folgendes Vorgehen, dazu eine Skizze zur Veranschaulichung.

Der rote Graph entspricht der Düne, der grüne Graph der zu ermittelnden Sichtlinie. Wir haben den Punkt P(0|31.8) als Auge des Betrachters gegeben, dort wird die Sichtlinie also durchführen, das führt schon einmal zu $\begin{eqnarray*} g(x)=mx+31{,}8 \end{eqnarray*}$ . Damit wir den Anfangspunkt des blickgeschützten Bereichs berechnen können, muss die Sichtlinie zudem einen Berührpunkt mit dem Graphen der Dünenfunktion haben. Daraus können wir schließen: $\begin{eqnarray*} m=f'(x) \end{eqnarray*}$ für den gesuchten Punkt $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$ . Das führt zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f'(x)\cdot x+31{,}8 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (3x+30)\cdot e^{-0{,}1x}=-0{,}3x^2e^{-0{,}1x}+31{,}8 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Gleichung berechnen wir den x-Wert des (ersten!) Berührpunkts. Näherungsverfahren liefern:

$\begin{eqnarray*} x_1=-2{,}875,~ x_2=4{,}9,~x_3=14{,}992 \end{eqnarray*}$

Den Wert für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ können wir sofort verwerfen, da negativ. Aus Monotoniegründen können wir auch $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ verwerfen, bleibt also $\begin{eqnarray*} x_2=4{,}9 \end{eqnarray*}$ als x-Wert des Berührpunktes. Das liefert uns mit $\begin{eqnarray*} f'(4{,}9)=-0{,}900501 \end{eqnarray*}$ die Steigung der gewünschten Sichtline. Insgesamt lässt sich dann mit $\begin{eqnarray*} g(x)=-0{,}900501x+31{,}8 \end{eqnarray*}$ als Gleichung der Sichtlinie auch der zweite Schnittpunkt, also das Ende des sichtgeschützten Bereichs berechnen.

Es ist also keine Tangente an den Graphen im Punkt $\begin{eqnarray*} (0|f(0)) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, vielmehr ist eine Tangenten an den Graphen, die durch das Auge des Betrachters im Punkt $\begin{eqnarray*} (0|31{,}8) \end{eqnarray*}$ verläuft, gesucht.

Wo hast du die Aufgabe her? Es mag die späte Stunde sein, aber für eine Abituraufgabe kommt sie mir sehr schwierig vor.

17.02.2012, 02:04

SpanischLiebling

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Ich habe es tatsächlich verstanden. Hierfür muss ich mich wirklich sehr bedanken.^^

Die präzise Darstellung hat mir wirklich sehr geholfen, sodass ich alles nachvollziehen kann und keine weitere Frage bezüglich der ersten Aufgabe besteht. Bei mir persönlich lag das Problem explizit darin, überhaupt eine Tangente bilden zu können, welche durch den Sichtblick verläuft und gleichzeitig die Dünenfunktion an (x/f(x)) berührt.

Die Aufgabe haben ich aus unserem Lehrbuch ,,Elemente der Mathematik - Schroedel", welches wir im Unterricht verwenden. Ich persönlich bin Schüler einer 13. Klasse eines beruflichen Gymnasiums (Fachrichtung Technik). Die Aufgabe selbst haben wir in der letzten Stunde behandelt, aber subjektiv betrachtet, hat es keiner verstanden.^^ Deshalb versuche ich diese Aufgabe gerade zu lösen, was mithilfe ihrer Hilfe super geklappt hat.

Gruß. smile

/Edit: Gibt es vielleicht irgendein Denkanstoß für Aufgabenteil b? Mit dieser kann ich leider gar nichts anfangen.

17.02.2012, 09:08

Iorek

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Das "du" ist im Matheboard gebräuchlicher. Augenzwinkern

Für die b) könntest du dir mal den Wendepunkt angucken; dort ist die Steigung absolut betrachtet am größten. Damit erhält man die steilste Sichtlinie, und kann dann die Höhe des Blickpunktes berechnen.

17.02.2012, 09:08

planck1885

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Zitat:

Original von planck1885
Die Ableitung von f(x) zu bestimmen ist schonmal gut.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(3x+30)e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,3e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$

Oh, da habe ich ein x vergessen.

Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} f'(x)=-0,3x \cdot e^{-0,1x} \end{eqnarray*}$ so sein.

17.02.2012, 11:29

SpanischLiebling

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Ich habe Aufgabenteil b gestern noch bearbeiten können, sodass auch diese Aufgabe nach kurzer Zeit kein Problem mehr war. Das rechnen fällt mir persönlich sehr einfach, aber der Zusammenhang bzw. das Textverständnis ist bei mir ein wahres Problem.

Aufgabenteil b Vorangehensweise) Wendepunkt bestimmen, Wendetangente bestimmen und zuletzt den y-Achsenabschnitt berechnen und schon hat man die perfekte Sichtweise heraus.

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