Bestimmen sie die Eigenwerte und räume

17.02.2012, 09:20	wowaiki	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen sie die Eigenwerte und räume Die Matrix A -2 1 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 besitzt das Polynom lambda^4 + 8 lambda^3 +18 lambda^2 - 27 Bestimmen sie die Eigenwerte und räume der Matrix. Also ich habe erstmal lambda^2 ausgeklammert: lambda^2(lambda^2 + 8lambda +18) Und dannach die pq Formel benutzt aber irgendwie stimmt das nicht.Und was passiert eigentlich mit der -27? Könnt ihr mir ein paar Lösungsanreize geben?
17.02.2012, 09:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen sie die Eigenwerte und räume Wenn ganzzahlige Lösungen existieren sind diese bereits Teiler des Absolutgliedes, also einfach mal die Teiler von 27 durchgehen und schauen, ob sich eine Nullstelle findet. Wenn du (ich bezeichne das mal mit x statt mit lmabda) x² ausklammerst erhälst du: $\begin{eqnarray} x^4+8x^3+18x^2-27=x^2 \left(x^2+8x+18-\frac{27}{x^2} \right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ . Also das führt dich nicht auf eine Lösung..... Edit: Schulmathematik ist das aber nicht, deshalb verschoben....
17.02.2012, 09:58	wowaiki	Auf diesen Beitrag antworten »
Also brauche ich für den Eigenwert nur die Teiler von -27 angeben? In diesem Fall wäre es ja -3 und 3 oder? Ich habe das nähmlich mal bei einem eigenwert rechner eingegeben und er hat mir -3, 3 und 0 ausgegeben.
17.02.2012, 10:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Eigenwert (-3) ist richtig. Wie gesagt, existiert eine ganzzahlige Nullstelle, so ist sie bereits Teiler des Absolutgliedes (in diesem Fall Teiler von 27). Das bedeutet nicht, dass die Teiler vo0n 27 auch eine Nullstelle sind, achte auf das "Wenn eine ganzzahlige Nullstelle existiert, dann..." Aber: Man kann die Teiler von 27 durchgehen um zu schauen, ob eine ganzzahlige Nullstelle existiert. Aber wieso denn 0 ? $\begin{eqnarray} p(0)=-27 \end{eqnarray}$ , also ist diese Stelle auf alle Fälle keine Nullstelle des char. Polynoms, und $\begin{eqnarray} p(3)=432 \end{eqnarray}$ , also ist 3 auch keine Nullstelle des Polynoms, was die Frage aufwirft, ob du denn das Polynom richtig bestimmt hast.... Ich rechne mal kurz nach....
17.02.2012, 10:11	wowaiki	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Polynom war schon vorgegeben.Also ich hab das jetzt so verstanden : -27 / 9 = -3 -27 / -9 = 3 Was mache ich jetzt mit diesen Eigenwerten? Ich setze sie in die Funktion ein: lambda = -3 -5 1 1 1 1 -5 1 1 1 1 -5 1 1 1 1 -5 Und dann versuche ich die Dreiecksgestalt zu machen oder?
17.02.2012, 10:22	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Und noch einmal: (-3) ist eine Nullstelle des Polynoms, 3 ist keine und 0 ist auch keine.... Die Teiler von 27 sind: $\begin{eqnarray} \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27 \end{eqnarray}$ . Diese kann man der Reihe nach einsetzen und schauen, welcher eine Nullstelle ergibt. Sicherlich ist $\begin{eqnarray} p(-3)=0 \end{eqnarray}$ , also Nullstelle gefunden. Nun mach mal selber, welcher Teiler ist noch eine Nullstelle (einen sieht man fast auf Anhieb...)?
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