Homomorphiesatz

17.02.2012, 09:34	lino	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphiesatz Meine Frage: Hallo, ich beschäfftige mich gerade mit dem Homomorphiesatz und versuche mir gerade denn Sinn dieses Satzes zu verdeutlichen. Es gilt ja für eine K-lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: V->W \end{eqnarray}$ (V, W K-VR), dass folgende Abbildung existiert: $\begin{eqnarray} g: V/ Ke/(f)-> Bi(f), [v]-> g([v])= f(v) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Frage ist, ob man "mündlich" den Homomorphiesatz folgendermaßen beschreiben kann: Es ist egal, ob man die Elemente des Vektorraums sofort durch die linear Abbildung f auf W abbildet, oder ob man V erst in seine Äquivalenzklassen bezüglich einer bestimmten Relation zerlegt und diese durch eine andere Abbildung g abbildet. Man landet letztendlich immer im Bild von f. Ist das der Sinn des Satzes? Lieben Dank für Eure Hilfe! lino
17.02.2012, 20:21	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz Nein, eigentlich sagt der Satz viel mehr, nämlich dass deine Abbildung g ein Isomorphismus ist. Im Klartext: Für Vektorräume $\begin{eqnarray} V,W \end{eqnarray}$ und eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ gilt: Es existiert ein Homomorphismus $\begin{eqnarray} \tilde{f}: V/ \operatorname{ker}(f) \to \operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} [ v ] \mapsto f(v) \end{eqnarray}$ der sogar ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist der Kern der Abbildung ein Untervektorraum. Damit hast du zwei wesentliche Aussagen: 1. Es existiert diese Abbildung (das war deine Aussage), d.h. die Abbildung ist wohldefiniert und linear. Dass sie linear ist folgt aus der Linearität von f und ist somit nichts interessantes. Auch, dass die Abbildung im Bild landet ist nichts Interessantes. Schließlich ist $\begin{eqnarray} f:V\to \operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ ebenfalls eine wohldefinierte Abbildung und was soll da schon schiefgehen, wenn ich Elemente in Äquivalenzklassen zusammenfasse? Der etwas interessantere Teil ist der, dass zwei Repräsentanten aus $\begin{eqnarray} V/ \operatorname{ker}(f) \end{eqnarray}$ auf dasselbe Bild gehen - was ja genau aus den Eigenschaften des Kerns folgt. 2. Diese Abbildung ist ein Isomorphismus, das heißt sie ist surjektiv und injektiv. Indem ich also den Kern rausfaktorisiere, verliere ich also keine Elemente und vor allen Dingen: Nur noch ein Repräsentant gehört zu einem Element im Bild. Und das ist eigentlich die interessantere Aussage! Daraus folgt zum Beispiel sofort, dass ein Homomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern nur die 0 enthält. Im Englischen heißt der Satz daher auch meistens Isomorphiesatz. Dort lautet der Homomorphiesatz etwas anders (f ist unsere Abbildung von oben): Sei $\begin{eqnarray} K\subset V \end{eqnarray}$ ein Unterraum mit $\begin{eqnarray} K\subset \operatorname{ker}(f) \end{eqnarray}$ , dann gibt es eine eindeutige Abbildung $\begin{eqnarray} g: V/K \to \operatorname{im}(f) \end{eqnarray}$ sodass mit der Projektonsabbildung $\begin{eqnarray} \pi: V\to V/K \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} g \circ \pi = f \end{eqnarray}$ Das heißt: Wenn ich nur einen TEIL des Kerns rausnehme, dann bekomme ich immer noch eine "natürliche" Abbildung mitgeliefert - und die Abbildung ist sogar eindeutig. Gruß MI
17.02.2012, 23:02	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz Ein Argument einer Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D \to W \end{eqnarray}$ darf höchstens ein Bild haben. Das ist der Grund, warum die durch f induzierte Relation ~ auf D mit $\begin{eqnarray} a \sim b \Leftrightarrow f(a) = f(b) \end{eqnarray}$ eine disjunkte Zerlegung auf D erzeugt (Reflexivität wäre verletzt). D.h. jede Funktion $\begin{eqnarray} f\colon D \to \Im(D) \end{eqnarray}$ induziert auf D eine Äquivalenzrelation, sodass dann $\begin{eqnarray} f/_{\sim} \colon D/_{\sim} \to \Im(D) \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Anschaulich wird D disjunkt zerlegt und die Zerlegungsmengen sind genau die Äquivalenzklassen von ~. Der zweite (IMHO nichtspannende) Anteil am Homomorphiesatz ist, falls f eine strukturerhaltende Eigenschaft hat, etwa Linearität. Die besitzt dann auch $\begin{eqnarray} f/_{\sim} \end{eqnarray}$ zusätzlich (zur Bijektivität).
18.02.2012, 00:55	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz So kann man das natürlich auch formulieren und das trifft ziemlich genau die Intuition, warum der Homomorphiesatz nicht sonderlich überraschend ist. In dieser Form habe ich das allerdings noch nie formuliert gesehen. Ist das jetzt einfach auf dein Verständnis gewachsen oder betrachtet man das irgendwo so? Andererseits bin ich mir nicht ganz sicher, warum du die strukturerhaltenden Eigenschaften als "unspannend" bezeichnest. Wenn diese nicht gegeben wären, dann wäre der Satz doch relativ nutzlos. Natürlich folgen die Eigenschaften relativ schnell einfach aus denen der Abbildung selbst - aber das kann ja schwerlich der einzige Grund sein. Gruß MI
18.02.2012, 03:38	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz Der Begriff Äquivalenzrelation ist Allgemeingut. Die techn. Def. über eine (R)+(S)+(T)-Relation ist IMHO nicht anschaulich. Also finden wir ... Eine ÄR ~ auf einer Menge X zerlegt X disjunkt, d.h. $\begin{eqnarray} X = \uplus_{j \in J} D_j \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} D_j \end{eqnarray}$ sind genau die ÄK bzgl. ~ und umgekehrt ist ~ bei gegebener Zerlegung mit $\begin{eqnarray} a \sim b \iff a,b \in D_j \end{eqnarray}$ für ein j eine ÄR. Seit Cantor ist bekannt, was = bedeutet. Dies verallgemeinert (nehme f = id) man zu $\begin{eqnarray} a \sim b \iff f(a) = f(b) \end{eqnarray}$ für beliebiges f und sieht ein, dass ~ Gleichheit unter einer Eigenschaft bedeutet. Hier sind die Urbilder eines f(a) eine ÄK. Unter diesem Aspekt ist Funktion (= links-total + recht-seindeutig) die Mindestanforderung an eine Relation, die diese Verallg. von = leben lässt. Und wir haben jetzt ein konstruktives gleichwertiges Kriterium, also insgesamt (mind.) 3. Ersetze linear durch stetig auf anderen Punktmengen. Wohin kommen wir da? Auf top.Räumen kann man Wege betrachten, die bzgl. Hintereinanderschalte Gruppen bilden. Die f-Eigenschaft liefert Homotopie-/ Homologiegruppen, also Aquiv. von top.R. - Unter diesem Aspekt ist Linearität ziemlich unspektakulär.
20.02.2012, 20:42	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphiesatz Erst einmal Danke für deine weitere Erläuterung. Nein, mir ist durchaus klar, was eine Äquivalenzrelation ist und dass das, was du da tust, seinen Sinn hat. Bis auf den letzten Abschnitt verstehe ich auch ohne Probleme, was du mir sagen willst (ich weiß was Homologie- und Homotopiegruppen sind und wie sie zustandekommen, allerdings ist mir nicht ganz klar wie du da implizierst, dass strukturerhaltende Eigenschaften langweilig sind) - der Stil hat mich nur etwas überrascht. Ich habe halt nie auf Relationslevel gearbeitet - außer Äquivalenzrelationen habe ich nicht viel mehr gemacht. Daher hatte ich mich nur gefragt, wo du das gemacht hast. Gruß MI
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