Grenzwert einer Folge bestimmen.

17.02.2012, 13:21

Claire1234

Grenzwert einer Folge bestimmen.

Meine Frage:
Bestime den Grenzwert der Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hätte jetzt erst einmmal $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$ rein multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{(n+1)(n+2)}-\sqrt{n(n+2)}) \end{eqnarray*}$

Dann mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+2)}) \end{eqnarray*}$ erweitert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{(n+1)(n+2)}-(\sqrt{n(n+2)})(\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+2)})}{\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+2)}}=\frac{((n+1)(n+2))-(n(n+2))}{\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+2)}} \end{eqnarray*}$

Und das passt doch irgendwie nicht... Weiss nicht weiter.

Grüße
Claire

17.02.2012, 13:26

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Im Prinzip ist das ok. Jetzt kannst du den Zähler mal ausmultiplizieren.

Ich hätte aber eher den Ausgangsterm mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ erweitert.

17.02.2012, 13:38

Claire1234

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Ok dann erweitere ich mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n+2})( \sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+2} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+2} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Trotzdem weiss ich an dieser Stelle hier leider nicht weiter bzw. sehe nicht was ich sehen soll.... unglücklich

17.02.2012, 13:53

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Klammere nun unter den Wurzeln ein n aus. Augenzwinkern

17.02.2012, 14:22

Claire1234

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})}}{\sqrt{n(1+\frac{1}{n})}\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Sorry, jetzt häng ich wieder böse

17.02.2012, 14:44

Mulder

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Wen wunderts? Aus der Summe im Nenner

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1} \color{red} + \color{black} \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

machst du im nächsten Schritt plötzlich ein Produkt.

17.02.2012, 14:52

Claire1234

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Hammer

Ja das war keine Absicht....

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})}}{\sqrt{n(1+\frac{1}{n})}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Güte war das eine schwere Geburt.... Ups

17.02.2012, 14:54

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Folge bestimmen.
Gratuliere. Freude

Aber auch den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$ hättest du problemlos bestimmen können. Augenzwinkern

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Grenzwert einer Folge bestimmen.

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