Irrationale Zahlen ergeben eine Rationale Zahl?

17.02.2012, 15:36	Ratlos1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationale Zahlen ergeben eine Rationale Zahl? Meine Frage: Mir ist in der letzten Zeit etwas merkwürdiges an meinem GTR Taschenrechner aufgefallen, dieser ist in der Lage Ergebnisse als Brüche anzuzeigen, so fern diese tatsächlich vorhanden sind, sollten diese nicht vorhanden sein, so rundet er zaheln ganz normal ab. Nun bin ich zufällig auf das Ergebnis von PIPIPI gestoßen, der Taschenrechner gibt dafür 123498/3983-tel an. Da Pi jedoch eine irrationale Zahl ist, verstehe ich nicht weshalb dann PI zweimal mit sich mal genommen laut Taschenrechner einen Bruch hervorbringt... Auch mein Mathematiklehrer weiß da nichts nähres dazu. Interessant ist außerdem dass für PI, PIPI, PIPIPIPI, PIPIPIPIPI nur gerundete Zahlen angegeben werden. Meine Ideen: Ich kenne mich leider zu wenig damit aus, sodass ich weiß ob es grundsätzlich möglich ist dass 2 irrationale Zahlen miteinander multipliziert wieder eine rationale Zahl ergeben können, ich weiß nur, dass bpsw. Wurzel2*Wurzel2 2 ergibt, aber das ist ja auch kein großes Wunder.
17.02.2012, 15:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationale Zahlen ergeben eine Rationale Zahl? $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist nicht nur irrational, es ist sogar transzendend. Das bedeutet es gibt kein Polynom mit rationalen Koeffizienten, s.d. $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ Nullstelle diesen wäre. Insbesondere kann keine echte Potenz von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ rational sein. Der Taschenrechner wird entweder runden, oder er hat $\begin{eqnarray} \pi^3 \end{eqnarray}$ als "guten" Wert gespeichert und zieht daraus die Wurzel, wenn du $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ haben willst. Und du hast ja selbst das Bsp. mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ gesehen, es kann also sein, dass irrationale Zahlen multipliziert (oder addiert) rational, sogar ganz werden.
17.02.2012, 15:52	Ratlos1337	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationale Zahlen ergeben eine Rationale Zahl? Danke schon einmal für die schnelle Antwort, jedoch wirft deine Antwort bei mir die Frage auf: Wenn Wurzel2 mit dem Expontenen 2 wieder eine rationale Zahl ergibt, dann müsste es doch auch für PI einen Exponenten geben, der dann eine rationale Zahl ergeben würde. Da du jedoch sagst, dass dieser nicht exsistiert, worin unterscheiden sich dann Wurzel2 und PI konkret? Transzendenz kenne ich als Begriff nur aus der Philosophie, was dort in etwa so etwas bedeutet, wie den menschlichen Verstand übersteiegend. (das endliche menschliche war da so ein Begriff)
17.02.2012, 15:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationale Zahlen ergeben eine Rationale Zahl? $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist genau deswegen nicht transzendent, sondern algebraisch, denn: Das (rationale) Polynom $\begin{eqnarray} x^2 - 2 \end{eqnarray}$ wird 0, wenn man $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ einsetzt. Es ist nicht trivial zu sehen, dass $\begin{eqnarray} \pi^k \end{eqnarray}$ nicht doch irgendwann rational wird, aber z.B. Hilbert hat einen Beweis dazu geliefert: http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchi...enz_von_e_und_À Wobei hier eben gezeigt wird, dass $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ transzendent ist, woraus aber sofort die Aussage folgt. Edit: Es gibt viele irrationale Zahlen, deswegen klassifiziert man sie in algebraisch und transzendent. Algebraisch heißt sie, wenn man mit der Zahl ein bisschen rumspielen kann (mit sich selbst multiplizieren, mit sich selbst addieren usw. - das macht das Polynom), und man eine ganze Zahl bekommt. Transzendent bedeutet man kann viel versuchen, und die Zahl bleibt irrational.
17.02.2012, 16:14	Ratlos1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetzt ist mir klar, worum es geht Interessant jedoch, dass es nicht trivial zu sehen, ist, dass PI nicht doch potenziert rational werden könnte

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