Vollständige Induktion Hochschulmathematik

17.02.2012, 17:49

Ligadata

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Vollständige Induktion Hochschulmathematik

Meine Frage:
Kann mir bitte jemand bei dem Ende der folgenden Induktion helfen ?
Aufgabe;
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} =\sum\limits_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Induktionsanfang n=1 ist einfach:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1} \frac{1}{k} =1=\sum\limits_{k=1}^{1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

Gilt die Behauptung für ein $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ , dann ist zu zeigen für n+1

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

Es gilt mithilfe der Induktionsvoraussetzung

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} =\sum\limits_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}+... \end{eqnarray*}$ An dieser Stelle verstehe ich nicht.

17.02.2012, 18:00

Helferlein

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Was genau verstehst Du denn nicht? Wieso man diesen Schritt macht, oder wie es weiter geht?

Zum ersten: Damit die Induktionsvoraussetzung eingesetzt werden kann, muss man natürlich die Summe erst einmal in die gewünschte Form bringen. Dabei werden Summanden weggelassen und hinzugefügt. Dies ist in der weiteren Umformung zu berücksichtigen und gleichzeitig die Antwort auf die Frage, wie es nach dem + weitergeht.

17.02.2012, 21:53

ret23feg

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Das verstehe ich, aber mein Problem ist, ich weis nicht wie komme ich auf diese Summanden.

17.02.2012, 22:48

Helferlein

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Wenn Du mit der Summenschreibweise Probleme hast, ist es sinnvoll sich das ganze mal ausgeschrieben darzustellen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k = \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + ... +\frac 1{2n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac 1k = \frac 1{n} + \frac 1{n+1} + ... +\frac 1{2n-1} \end{eqnarray*}$

Welche Summanden sind in der ersten Summe vertreten und welche fehlen, um auf die zweite zu kommen?

17.02.2012, 23:43

ret23feg

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fehlen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$

18.02.2012, 11:23

Helferlein

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Nein, das stimmt nicht.
Die Nenner im zweiten Term gehen von n bis 2n-1, im ersten Term von n+1 bis 2n+1
(Bsp n=3: Erste Nenner von 3 bis 5, zweite Nenner von 4 bis 7)

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18.02.2012, 23:12

ret23feg

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dann + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ Mein Problem ist, ich komme mit Summen nicht klar.

19.02.2012, 02:30

Helferlein

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Das stimmt immer noch nicht. Was ist denn so schwer daran abzuzählen und zu schauen, welche Summanden fehlen bzw. über sind?

Wenn die erste Summe von n+1 bis 2n+1 geht, die zweite aber von n bis 2n-1, dann ist in der zweiten Summe das n zuviel und es fehlen 2n und 2n+1:

Indizes der erste Summe: n+1, n+2, n+3, ..., 2n-1, 2n, 2n+1
Indizes der zweiten Summe: n, n+1, n+2, ..., 2n-1

Folglich gilt
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k = \left(\sum_{k=n}^{2n-1} \frac 1k \right) - \frac 1n + \frac 1{2n} + \frac 1{2n+1} \end{eqnarray*}$

Dann setzt Du die Induktionsvoraussetzung ein und formst um.

19.02.2012, 12:42

ret23feg

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}=\sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}=\sum\limits_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}=\sum\limits_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}. \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht wocher taucht auf einmal das 2n auf.

Danke

19.02.2012, 13:06

lgrizu

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Es ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}=-\frac{2}{2n}+\frac{1}{2n}=-\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Elementare Bruchrechnung.

19.02.2012, 14:02

ret23feg

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Das ist mir klar. Man hat mir gesagt, dass ich n abziehen soll und 2n und (2n+1) dazu addieren soll. Das habe ich jetzt gemacht. Mit -n und +( 2n+1) bin ich einverstanden, aber wocher kommt +2n? ,warum muss ich noch 2n dazu addieren. Das verstehe ich nicht.

Danke

19.02.2012, 15:43

lgrizu

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Das steht hier:

Zitat:

Original von Helferlein
Wenn die erste Summe von n+1 bis 2n+1 geht, die zweite aber von n bis 2n-1, dann ist in der zweiten Summe das n zuviel und es fehlen 2n und 2n+1:

Indizes der erste Summe: n+1, n+2, n+3, ..., 2n-1, 2n, 2n+1
Indizes der zweiten Summe: n, n+1, n+2, ..., 2n-1

19.02.2012, 15:59

ret23feg

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wie kommt man auf 2n?

19.02.2012, 16:05

lgrizu

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Ich verstehe die Frage nicht, zumal eigentlich alles in diesem thread steht.

Wir betrachten im Induktionsschluss die Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2(n+1)-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Nun möchten wir die Induktionsvorraussetzung anwenden, also betarchten wir:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2(n+1)-1} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} + r \end{eqnarray*}$

Dabei ist r irgendein Restglied.

Wir bestimmen dieses Restglied indem wir uns anschauen, welche Summanden denn auf der rechten Seite fehlen, diese sind:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n}, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ .

Damit also tatsächlich Glecihheit herrscht müssen wir die wieder dazu addieren und erhalten also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2(n+1)-1} \frac{1}{k}=\sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}-\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir die Vorraussetzung an....

19.02.2012, 16:47

ret23feg

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[QUOTE]
Wenn Du mit der Summenschreibweise Probleme hast, ist es sinnvoll sich das ganze mal ausgeschrieben darzustellen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k = \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + ... +\frac 1{2n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac 1k = \frac 1{n} + \frac 1{n+1} + ... +\frac 1{2n-1} \end{eqnarray*}$

Welche Summanden sind in der ersten Summe vertreten und welche fehlen, um auf die zweite zu kommen?

diese sind:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n}, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ .

[QUOTE] warum 1/2n.

19.02.2012, 18:03

lgrizu

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Sag mal, willst du mich ver**** ? verwirrt

verwirrt

Nun nimm dir mal nen Zettel und nen Stift und schreibe die Summen mal beide auf.

Es ist 2(n+1)-1=2n+1.

Welche natürlichen Zahlen fehlen denn zwischen 2n+1 und 2n-1?

Es steht wirklich alles hier, also noch einmal aufmerksam lesen.

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