Suche weiteren Punkt um quadratische Gleichung aufzustellen
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17.02.2012, 18:30 archy Auf diesen Beitrag antworten »
Suche weiteren Punkt um quadratische Gleichung aufzustellen
Hi,

ich habe ein unbekannte quadratische Parabel f.
Mir sind folgende Punkte bekannt:
P1 = (-3 | 0); P2 = (0 | 1,5);

Da eine allgemeine quadratische Parabel wie folgt aussieht:
f(x) = ax² + bx + c
und ich P1 und P2 weiß konnte ich bereits b und c berechnen.

Berechnung von c mit Punkt (0 | 1,5):
1,5 = a(0)² + b(0) + c
1,5 = c

Berechnung von b mit Punkt (-3 | 0):
0 = a(-3)² + b(-3) + 1,5
3b = 9a + 1,5
b = 3a + 0,5

Das heisst f(x) sieht jetzt so aus:
f(x) = ax² + (3a + 0,5)x + 1,5

Jetzt brauche ich nur noch a...
Allerdings sind keine weiteren Punkte mehr gegeben.

Wie kann ich jetzt noch an einen weiteren Punkt kommen?

Gruß archy
17.02.2012, 18:33 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche weiteren Punkt um quadratische Gleichung aufzustellen
Wie lautet denn die komplette (!) Aufgabenstellung?

smile
17.02.2012, 18:35 Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast zwei Informationen und kannst damit 2 Gleichungen aufstellen.
Das hast du richtig erkannt. Allerdings wird wohl im Aufgabentext noch ein weiterer
Hinweis versteckt sein. Hast du den genauen Wortlaut?
Helfen würde "Scheitelpunkt oder (verschobene) Normalparabel" Augenzwinkern .
17.02.2012, 19:03 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabenstellung:
Das Profil einer Skateboardrampe wird von zwei quadratischen Parabeln f und g gebildet,
die über einen senkrechten Absatz verbunden sind.
a) Wie lauten die Gleichungen für f und g?
g hat folgende Punkte: P1 (4 | 0) und P2 (0 | 2) und f: P1 (-3 | 0) und P2 (0 | 1,5)

Mehr gibt es nicht. Könnte man nicht auch, mit dem Extremalpunkt einen weiteren Wert bekommen? Allerdings was macht da mit dem a?
17.02.2012, 19:10 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine Zeichnung zu der Aufgabe? Irgendwie kann ich mir das nicht als Skateboardrampe vorstellen.... verwirrt

edit: Ich habe das hier gefunden:

[attach]23157[/attach]

Demnach scheinen die beiden P1 Punkte auch die Scheitelpunkte zu sein.
Dann ist die Sache klar.

smile
17.02.2012, 19:13 archy Auf diesen Beitrag antworten »

An sich ja, aber ich weiß nicht, ob man die veröffentlichen kann (wegen Urheberrecht).

Ich schau mal, ob es die Zeichnung bei Google gibt
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17.02.2012, 19:17 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich die Skizze gefunden:
Bild

Für die, die Schwierigkeiten haben die Zahlen der brillianten Kopie zu lesen:
ganz Links steht -3, ganz rechts 4 (jeweils die x-Achse). Die Höhe von der größeren Rampe ist 2m. Die kleinere Rampe ist 0,5m kleiner (jeweils an der y-Achse)

EDIT:
Verdammt, bist du schnell böse
Also dieselbe Zeichnung meinte ich auch Augenzwinkern Freude

Was kann ich mit dem Scheitelpunkt anstellen?
Gibt es eine Ableitung, welche den Scheitelpunkt errechnen lässt?

EDIT2:
Jetzt wo ich nachdenke ist es ja klar... Der Scheitelpunkt ist das Minimum....
17.02.2012, 19:24 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst über die Ableitung gehen, oder über die Scheitelpunktform. Auch kannst du dir einen dritten Punkt ausrechnen.

Wähle dir einen Weg aus. smile
17.02.2012, 19:31 archy Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt habe ich irgendwo einen Fehler drin...

Zitat:
Berechnung von c mit Punkt (0 | 1,5):
1,5 = a(0)² + b(0) + c
1,5 = c

Berechnung von b mit Punkt (-3 | 0):
0 = a(-3)² + b(-3) + 1,5
3b = 9a + 1,5
b = 3a + 0,5

Das heisst f(x) sieht jetzt so aus:
f(x) = ax² + (3a + 0,5)x + 1,5


f(x) = ax² + 3ax + 0,5x + 1,5
f'(x) = 2ax + 3a +0,5

f'(-3) = 0

=> 0 = 2a(-3) + 3a + 0,5
<=> 0 = -6a + 3a + 0,5 | +3a
<=> 3a = 0,5
<=> a = 1/6

=> f(x) = (1/6)x² + 0,5x + 0,5x + 1,5
<=> f(x) = (1/6)x² + x + 1,5

Das habe ich dann in den Funktionsplotter eingegeben und siehe da, es stimmt nicht....
Habe ich den Fehler bei der Ableitung gemacht oder woanders?
17.02.2012, 19:33 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast keinen Fehler gemacht, dein Ergebnis stimmt. Freude
17.02.2012, 19:56 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Fehler war Komma statt Punkt zu benutzen im Plotter Big Laugh

Aber jetzt gehts, danke für deine Hilfe Augenzwinkern
17.02.2012, 19:59 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mit dem Komma/Punkt ist fies. Augenzwinkern

Hast du die zweite Funktion auch herausgefunden? smile
17.02.2012, 20:59 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja smile

g(x) = (1/8)x² - x +2

Nur beim Flächenberechnen habe ich einen Fehler gemacht, aber das kriege ich zum Glück noch allein hin smile
17.02.2012, 21:08 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist auch richtig. Freude

Ich habe die Graphen mal gezeichnet:



smile
17.02.2012, 21:25 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Augenzwinkern

Ich habe jetzt die Aufgabe nochmal neu neuangefangen und diesmal zuerst nach a aufgelöst anstatt b. Nur da ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen:

f(x) = ax²+bx+1,5

0 = a(-3)+b(-3)+1,5
-9a = -3b + 1,5
a = (1/3)b - (3/18)

f(x) = (1/3)bx² - (3/18)x² + bx + 1,5
f'(x) = (2/3)bx - (1/3)x² + b

=> 0 = (-1/2)b + 1 + b
<=> b = -2

f(x) = (-5/6)x² - 2x + (3/2)

Wo habe ich einen Fehler gemacht?
17.02.2012, 21:35 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
f'(x) = (2/3)bx - (1/3)x² + b

=> 0 = (-1/2)b + 1 + b


Es muss f'(x) = (2/3)bx - (1/3)x + b heißen. Augenzwinkern

Den nächsten Schritt kann ich nicht nachvollziehen. verwirrt
17.02.2012, 22:13 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke smile

Ich habe jetzt noch eine letzte Unstimmigkeit mit der Flächenberechnung:
f(x) = (1/30)x²+(3/5)x+(3/2)
F(x) = (1/90)x³+(3/10)x²+(3/2)x

g(x) = -(1/24)x² - (1/3)x + 2
G(x) = -(1/72)x³ - (1/6)x² + 2

(Funktionen sind geprüft!)

Die Fläche der kleineren Rampe:
F(-3) = (1/30)(-3)² + (3/5)(-3) + (3/2)
= -(27/90) + (27/10) + (3/2)
= 3,9

G(4) = -(1/72)(4)³ - (1/6)(4)² + 2
= -(1/72)(64) - (1/6)(16) + 2
= -(8/9) - (8/3) + 2
= -(8/9) - (24/9) + (18/9)
= -5,5555

Beide Ergebnisse sind falsch laut wolfram alpha....
17.02.2012, 22:17 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Aufgabe ist das? verwirrt

Es sind andere Funktionen. Für welche Bereiche rechnest du die Flächen aus? verwirrt
17.02.2012, 22:24 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist immernoch diesselbe Aufgabe nur bin ich beim zweiten lösen auf andere Funktionen gekommen (sollte trotzdem richtig sein laut plotter).

Bei F(x) von -3 zu 0 und bei G(x) von 0 zu 4.
17.02.2012, 22:27 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst also die Fläche der beiden Rampenseiten berechnen?
Warum nimmst du dann nicht die Funktionen, die du bestimmt hast? verwirrt

Deine neuen Funktionen sehen so aus:


edit: Im Detail:
17.02.2012, 22:30 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
Du sollst also die Fläche der beiden Rampenseiten berechnen?

Genau Augenzwinkern
Zitat:
Warum nimmst du dann nicht die Funktionen, die du bestimmt hast? verwirrt

Naja, ich habe ja nochmal von vorne angefangen smile

Die Funktionsgraphen sind identisch wie die vorherigen Augenzwinkern

Ich bin jetzt schon müde, werde mir das alles morgen nochmal ansehen. Danke für deine Hilfe.
17.02.2012, 22:41 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Graphen sind nicht identisch:



verwirrt
18.02.2012, 07:57 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich denke wir sind da auf ein allgemeines Problem gestoßen:

Die Punkte, welche gegeben sind beinhalten beide Graphen.
Man bräuchte also eigentlich einen Punkt bei x=1 um die gewünschte Parabel zu kriegen.

Weil es kann ja viele Graphen geben, welche die y-Achse bei 2 und die x-Achse bei 4 schneiden, wie nun der Graph zwischen den beiden Punkten aussieht kann man leider nicht bestimmen, stimmst du mir da zu?
18.02.2012, 08:47 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich gibt es viele Graphen, aber es gibt nur eine Parabel mit dem jeweilgen Scheitelpunkt, die durch den zweiten Punkt geht.

Die zuerst ausgerechneten Funktionsgleichungen sind richtig, die neuen nicht mehr.

smile


edit: Da ich heute und morgen eher wenig im Board sein werde, hier mal zur Kontrolle die Summe der beiden gesuchten Flächeninhalte: 25/6 m²

smile
18.02.2012, 11:12 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

habe die Aufgabe ein drittes Mal durchgerechnet und jetzt stimmt es wieder Augenzwinkern

f(x) = (1/6)x² + x + (3/2)
F(x) = (1/18)x³ + (1/2)x² + (3/2)x + C

g(x) = (1/8)x² - x + 2
G(x) = (1/24)x³ - (1/2)x² + 2x +C

Nur das ausrechnen des Flächeninhalts stellt für mich ein Problem dar.
Da muss ich wohl auf deine Hilfe warten Augenzwinkern
Irgendwas mache ich da total falsch.

F(-3) = (1/18)(-3)³ + (1/2)(-3)² + (3/2)(-3)
= -(27/18) + (9/2) - (9/2)
= -(27/18)
= -(3/2)

G(4) = (1/24)(4)³ - (1/2)(4)² + 2(4)
= (64/24) - (16/2) + 8
= (16/6) - (48/6) + (48/6)
= (8/3)

A = (8/3) + (3/2)
= 4

Aber 4 != (25/6)
18.02.2012, 17:56 sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von archy
F(-3) = (1/18)(-3)³ + (1/2)(-3)² + (3/2)(-3)
= -(27/18) + (9/2) - (9/2)
= -(27/18)
= -(3/2)

Freude

Zitat:
Original von archy
G(4) = (1/24)(4)³ - (1/2)(4)² + 2(4)
= (64/24) - (16/2) + 8
= (16/6) - (48/6) + (48/6)
= (8/3)

Freude

Zitat:
Original von archy
A = (8/3) + (3/2)
= 4

verwirrt

smile
18.02.2012, 18:50 archy Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer das beim schluss Big Laugh
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