Definition Wurzel mit Konstante

17.02.2012, 20:31	ST2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Wurzel mit Konstante Meine Frage: Gegeben sei folgende Funktion ... zu bestimmen sei der Definitionsbereich $\begin{eqnarray} \sqrt{2x²-x+h} \end{eqnarray}$ Die Lösung ist $\begin{eqnarray} h \geq \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Ich komme aber immer nur auf $\begin{eqnarray} h \leq \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sqrt{2x²-x+h} \end{eqnarray}$ Ich weiss, das eine Wurzel nicht negativ werden darf, also setze ich $\begin{eqnarray} 2x²-x+h \geq 0 \end{eqnarray}$ Dann habe ich versucht die "Mitternachtsformel" (Zum berechnen allgemeiner quadratischer Funktionen) anzuwenden. $\begin{eqnarray} x(1\|2) \geq \frac{-b\pm \sqrt{b²-4ac} }{2a} \end{eqnarray}$ Eingesetzt: $\begin{eqnarray} x(1\|2) \geq \frac{1\pm \sqrt{1-8h} }{4} \end{eqnarray}$ Dabei stelle ich dann fest, dass dort wieder eine Wurzel auftaucht: $\begin{eqnarray} \sqrt{1-8h} \end{eqnarray}$ Diese setze ich nun wieder $\begin{eqnarray} 1-8h\geq 0 \end{eqnarray}$ und erhalte dafür $\begin{eqnarray} h \leq \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Das ist meine Lösung, die falsch ist. Aber wo ist nun mein Fehler?
17.02.2012, 20:39	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition Wurzel mit Konstante Und hier ist dein Denkfehler: Du hast gerade gezeigt, dass der Radikant deines Terms zwei reelle Nullstellen hat, wenn $\begin{eqnarray} h<\frac{1}{8} \end{eqnarray}$ ist. Was passiert aber wenn du zwei reelle Nullstellen hast? Richtig, dann gibt es einen Bereich in dem $\begin{eqnarray} 2x^2-x+h< 0 \end{eqnarray}$ gilt. Also ist deine Wurzel oben nicht für alle x definiert. Dein Problem ist, dass du das Problem umformuliert hast und dann aber vergessen hast, was du eigentlich möchtest. Du willst $\begin{eqnarray} 2x^2-x+h\geq 0 \end{eqnarray}$ , also soll diese Funktion da bitteschön positiv bleiben --> Sie darf nicht mehr als eine Nullstelle besitzen, andernfalls wird sie irgendwo negativ. Gruß MI
17.02.2012, 20:47	ST2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie drücke ich das nun aus? Ich mein, wenn ich nach "h" quasi auflösen will, kann ich das nicht. Da, 2 unbekannte. Ich müsste irgendwie wissen, wie man die "Doppelte" Nullstelle in der pq-Formel "erzeugen" kann. Dann könnte ich das nach h auflösen, oder? edit: Also Diskriminante einfach "Null" werden lassen?
17.02.2012, 22:21	ST2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habs hinbekommen. Noch zur Vollständigkeit die Lösung: Hab von der Gleichung einfach den Extremwert bestimmt. Der X-Wert wird ja nicht verschoben und demnach bleibt auch der Extremwert an seiner X-Stelle. Dazu habe ich den Term $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{x²-x+h} \end{eqnarray}$ abgeleitet zu $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{4x-1}{2\sqrt{x²-x+h}} \end{eqnarray}$ Dann eben Null gesetzt $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = \frac{4x-1}{2\sqrt{x²-x+h} } \end{eqnarray}$ und es wird dann umgeformt zu $\begin{eqnarray} 4x -1 = 0 \end{eqnarray}$ Der Extremwert liegt bei $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Der Extremwert wird dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt. (Wurzel darf nicht Null sein) $\begin{eqnarray} 2{x²-x+h} \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(\frac{1}{4})² - \frac{1}{4}+ h \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{16} - \frac{1}{4} + h \geq 0 \end{eqnarray}$ und dann bekommt man auch schon $\begin{eqnarray} h \geq \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ heraus. Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe, MI. Ich stand heute wirklich auf dem Schlauch.
18.02.2012, 01:02	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Kommentare: Das, was du da machst, funktioniert schon irgendwie, aber dein ursprünglicher Ansatz ist doch nicht falsch. Du hattest also: $\begin{eqnarray} \mathrm{disk}(x):=x^2-x+h \end{eqnarray}$ darf nicht Null werden. Nun ist das eine Parabel, die offenbar (Vorzeichen des höchsten Monoms) nach oben geöffnet ist. Die Parabel ist dann also genau dann immer größer Null, wenn sie keine zwei verschiedenen reellen Nullstellen besitzt. In dem Fall wäre sie zwischen den Nullstellen negativ. Also berechnen wir die Nullstellen und stellen fest, dass die Funktion genau dann keine zwei verschiedenen Nullstellen besitzt, wenn $\begin{eqnarray} h\geq \frac18 \end{eqnarray}$ . Gruß MI
18.02.2012, 11:43	ST2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage vorweg: Was bedeutet dieses "disk (x):= " ? Diskriminante? $\begin{eqnarray} 2x^{2} -x^{} + h \| :2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} - \frac{x^{}}{2} + \frac{h}{2} \end{eqnarray}$ dannin die PQ-Formel einsetzen ... $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \pm \sqrt{({\frac{\frac{-1}{2} }{2}})² -\frac{h}{2} } \end{eqnarray}$ Und eben die Diskriminante Null werden lassen. Wobei die Diskriminante doch eigentlich sogar das "ohne" Wurzel ist!? Wär doch sonst auch keine Äquivalenzumformung (quadrieren) !? $\begin{eqnarray} \sqrt{({\frac{\frac{-1}{2} }{2}})² -\frac{h}{2} } = 0 <br /> <br /> <br /> ({\frac{-1}{2}})² = \frac{h}{2}<br /> <br /> h = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Dann muss man eben sehen, dass 1/8 die Zweifache Nullstelle ist und alles drüber keine Nullstelle mehr liefert. Seltsam ist, dass ich genau das gestern auch probiert habe. Habe gerade nochmal in meine Journal-Aufzeichnungen geguckt und du hattest Recht MI, ich bin wirklich irgendwie vom Weg abgekommen. Vielen Dank für die Hilfe nochmal.
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20.02.2012, 20:50	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich habe deine Antwort irgendwie übersehen. Ja, "disk" soll Diskriminante heißen. Mir gefällt es nicht, irgendeinen Term hinzuschreiben und dann von Funktion zu sprechen, daher habe ich das Ding kurzerhand so getauft. Und ja, die Diskriminante ist dann das "ohne Wurzel". Ein kleiner Schönheitsfehler ist da noch: Bei h=1/8 hat's natürlich nur noch EINE (doppelte!) Nullstelle - deswegen ist h=1/8 ja noch erlaubt, weil die Funktion da nicht negativ wird. Gruß MI

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