Definitionsbereich einer trig. und Wurzelfunktion

17.01.2007, 20:13

Definitionsbereich einer trig. und Wurzelfunktion

Hi

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{ 1-2\cos(x) } \end{eqnarray*}$

In welchem Teilbereich von [0; 2pi [ ist f definierbar? Welcher Wertebereich ergibt sich?

Wie muss man hier vorgehen? Sowas mache ich zum ersten Mal
Ich habe mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} 0\leq 1-2\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5\geq cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\leq\arccos(0,5) \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass x die Lösung sein darf und über arccos(0,5) nicht. Aber das stimmt nicht
Wie komm ich auf die richtige Lösung? Was ist daran falsch? Und bitte keinen Plotter verwenden, denn ich will es auf rechnerischen Weg bestimmen.

17.01.2007, 20:31

Dunkit

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Ich würde vllt garnicht erst mit ungleichungen anfange, sondern einfach die Nullstellen der Fkt $\begin{eqnarray*} 1 - 2 \cos(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen...

17.01.2007, 20:36

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Natürlich kann man das mit gleichheitszeichen machen, aber es ist mit Ungleichungen besser. Aber ich frage mich, was ich genau machen muss und wie ich rausbekomme, welcher Definitionsbereich nicht eingeschlossen ist!

17.01.2007, 20:42

Dunkit

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der Fehler kann IMHO nur beim Anwenden des arccos liegen. Ich glaube nicht, dass das bei Ungleichungen so einfach möglich ist!
Weißt du denn, was rauskommen SOLLTE?

17.01.2007, 20:49

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Nein, ich kenne nicht die Lösungen, aber ich vermute den Fehler auch bei arccos . Hoffentlich kann noch heute ein Experte darauf antworten.

17.01.2007, 20:55

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} 0,5\geq cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\leq\arccos(0,5) \end{eqnarray*}$

Erste Zeile richtig, zweite Zeile falsch.

Zeichne dir mal die Kosinusfunktion auf, dann siehst du es.

17.01.2007, 21:03

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Meinst du, dass das Ungleichzeichen bei arccos umgedreht wird? Kannst du es an der Zeichnung erklären?

17.01.2007, 21:13

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Zeichnen wir mal die betreffende Niveaulinie mit ein:

Lösung der Ungleichung sind alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wo die rote Kosinuskurve unterhalb der grünen Niveaulinie 1/2 liegt.

EDIT: Ok, es geht bei deiner Funktion nur um $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , dann können wir uns einschränken:

17.01.2007, 21:18

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Ôk das ist sehr gut dargestellt.

Aber warum sich das Ungleichzeichen ändert, ist noch immer nicht geklärt.

17.01.2007, 21:25

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \cos(x)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auflösen willst, musst du das getrennt nach den Monotonieintervallen der Kosinusfunktion tun:

Im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend, also kehrt sich das Relationszeichen um: Lösung der Ungleichung ist hier $\begin{eqnarray*} x\geq \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ , aber wie gesagt alles bezogen auf Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ , also Teil-Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{\pi}{3}, \pi \right] \end{eqnarray*}$

Im Intervall $\begin{eqnarray*} [\pi,2\pi] \end{eqnarray*}$ hingegen ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend, also haben wir hier die Lösungen $\begin{eqnarray*} x\leq 2\pi-\arccos\frac{1}{2} = \frac{5}{3}\pi \end{eqnarray*}$ also Teil-Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \left[ \pi, \frac{5}{3}\pi \right] \end{eqnarray*}$ .

17.01.2007, 21:40

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Achso
Aber wir kennen ja das Monotonieverhalten von einer Kosinusfunktion

Wie mache ich es z.B. mit einer solchen Funktion ( cos(sin(x+3x^2)) ) ?

Monotonieverhalten zu bestimmen würde zu lange dauern... einen Tipp?

Nun zur nächsten Frage:

Wie soll ich den Wertebereich bestimmen? Einfach die Extremstellen oder ist es hier anders gemeint?

17.01.2007, 21:53

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Zitat:

Original von PG
Wie mache ich es z.B. mit einer solchen Funktion ( cos(sin(x+3x^2)) ) ?

Geduldig von außen nach innen vorarbeiten, und dabei gelegentlich ein paar Fallunterscheidungen schlucken - wie sonst. Ansonsten werde ich mich hüten, jetzt zig Zeilen zu schreiben zu einer Funktion, die du aus einer Schnapsidee heraus hingekritzelt hast.

EDIT: Das betraf natürlich das Monotonieverhalten. Wenn es um den Definitionsbereich dieser Funktion geht, der ist natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ohne Einschränkungen.

17.01.2007, 22:00

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-Also sowas muss man mit dem Monotonieverhalten bestimmen(die Aufgabe die ich gestellt habe)- richtig?

-Dazu muss ich die 1. Ableitung bestimmen, weil es anders nicht geht- richtig verwirrt

obwohl man bei dieser Aussage vorsichtig sein sollte)

-Wie soll ich nun den Wertebereich bestimmen? Mit den Extremstellen oder geht es auch einfacher? Weil da steht: Welcher Wertebereich ERGBIBT SICH?

Ich brauche das, kannst du mir die Fragen bitte einzeln beantworten?

Danke

18.01.2007, 21:43

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Egal ich brauche keine Antwort

Danke

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