Integral mit Parameter

18.02.2012, 01:54

Gast11022013

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Integral mit Parameter

Meine Frage:
Hi,

ich habe ein Problem bei der Flächenberechnung unter einigen Kurven und Geraden.
Und zwar:

$\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ ist das Schaubild von $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_t(x)=(2t-x)e^{0.25x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in R; t>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ , die y-Achse und die Gerade mit $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ umschließen für $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ eine Fläche mit Inhalt $\begin{eqnarray*} B(t) \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie t so, dass gilt: $\begin{eqnarray*} B(t)=8(e-1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Hauptproblem ist es sich das Gebilde vorzustellen.
Die Beschränkung auf der y-Achse und der Geraden x=-4 ist mir klar.
Auch das mit $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ ist nichts neues. Aber wie ist es wenn jetzt noch $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ hinzukommt?

Gehe ich recht in der annahme, dass ich eine Fläche suche, die zwischen den Schnittpunkten von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_t \end{eqnarray*}$ liegt von -4 (Gerade) bis zum nächstgelegenen x-Achsenabschnitt?

Mein Gedanke war es $\begin{eqnarray*} K_1=K_t \end{eqnarray*}$ zu setzen, aber damit kam ich nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} (2t-x)e^{0.25x}=(2-1)e^{0.25} \end{eqnarray*}$

ich habe den Logartimus gezogen (ich hoffe das darf ich hier ohne weiteres machen, ansonsten hier der alternativ Gedanke mit $\begin{eqnarray*} e^{0.25} \end{eqnarray*}$ zu dividieren, was das selbe Ergebnis brächte)
dann durch 0.25 dividiert.
Danach erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (2t-x)x=2-1 \end{eqnarray*}$

Umgeformt ist dies:

$\begin{eqnarray*} -x^2+1-2+2tx=0 \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich jetzt nicht mehr weiter.
Pq-Formel dürfte ja nicht funktionieren. (siehe Edit unten. Pq-Formel führt mich allerdings nur zu weiteren Sackgassen)

Möglicherweise Polynomdivision mit t als Vermutung?????
(noch nicht durchgeführt, da die Vermutung äußerst Wage ist)

Über Denkanstöße würde ich mich sehr freuen.

Danke im Voraus.

Mfg

1.Edit: Am Ende einfach dann =8(e-1) setzen.

2.Edit: Habe einen Fehler Korrigiert, weshalb Pq-Formel jetzt doch sinn macht.
Ursprünglich hatte ich in $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ noch das x in der Klammer vergessen zur 1 zu machen

3.Edit: Pq-Formel bringt mich zu dem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=t\pm \sqrt{t^2-1} \end{eqnarray*}$

Da t>1 gilt für diese Aufgabe käme ja unter der Wurzel auf jeden Fall etwas positives Raus.
Aber wie mache ich damit weiter.

18.02.2012, 09:31

ollie3

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RE: Integral mit Parameter
hallo gmasterflah,
wie gesagt ich kenne dich und finde das cool, das du dich mit solchen sachen
beschätigst, aber hier bist du leider einen totalen irrweg gegegangen.
Bei dieser aufgabe geht es ja darum, die fläche zwischen vorgegebenen
funktionen zu bestimmen, und grundsätzlich macht man das so, dass man,
wenn die beiden funktionen f und g heissen und das intervall von a bis b geht,
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \!(f(x)-g(x))\,dx \end{eqnarray*}$ berechnet.
In diesem fall sind die funktionen ja f_1 und f_t, und die integrationsgrenzen
sind ja a=-4 und b=0.
Dann versuch mal, einen ansatz zu finden, das ergebnis (also die fläche) soll ja
8(e-1) ergeben.
gruss ollie3

18.02.2012, 17:46

Gast11022013

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Danke für die Antwort.

Ja ich weiß das ich auf nem Irrweg war, denn als ich heute Aufgewacht bin fiel mir der Lösungsweg auf einmal wie Schuppen von den Augen. Big Laugh

Big Laugh

War gestern ja auch schon spät als ich mich dran gesetzt hatte und dem entsprechend sind die Fehler auch hoch gewesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Grenzen sind von -4 bis zum x-Achsenabschnitt 0.
Dann die Funktion h(x)=f(x)-g(x) aufstellen und Integrieren und diese dann =8(e-1) setzen.

Ich werde es direkt mal so probieren und hoffe ich komme so zum Ziel.

Diesesmal war es aber leider eine normale Schulaufgabe und nichts wo ich wieder ein wenig über den Tellerrand hinaus blicken wollte. smile

smile

Edit: Wenn ich K_t - K_1 rechne bekomme ich als Lösung einfach t=1
Irgendwie hilft mir das nicht weiter. Das Ergebnis ist ja auch logisch, da K_t für t=1 ja komplett das Gleiche ist wie K_1.

Also Integriere ich nun zu erst beide Funktionen und Rechne dann weiter.

Irgendwie doch nicht so einfach wie ich dachte.

Ohh man ich habe es jetzt mehrfach Probiert aber ich komme nicht auf die Richtige Lösung.

Mein letzter Ansatz war nun:

$\begin{eqnarray*} \int_{-4}^0 (2t-x)e^{0.25x}-(2-x)e^{0.25x}dx=8(e-1) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich Integriert und die Grenzen eingetragen und Subtrahiert und komme auf kein Richtiges Ergebnis.
Ich glaube ich mache beim Ausrechnen fehler. unglücklich

unglücklich

Integriert steht da:

$\begin{eqnarray*} 4e^{0.25x}(2t-x+4)-4e^{0.25x}(6-x)=8(e-1) \end{eqnarray*}$

Hab die Grenzen der Einfachheit halber weggelassen.

Nun setze ich für x die 0 ein und subtrahiere es von x=-4

Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} (4(2t+4)-4*6)-(\frac{4}{e}(2t-4+4)-\frac{4}{e}(6+4)) \end{eqnarray*}$

So erhalte ich t=1.39.....

Das kommt der Lösung schon relativ nah, aber eben nicht genau.
Und auch nur wenn ich das 2t ignoriere und bloß die 1.39... einsetze.

Wo ist mein Fehler? Ich komm nicht drauf. traurig

traurig

Durch ausprobieren habe ich herausgefunden das t so ungefähr 3.5 sein muss.
Es ist auf jeden Fall eine krumme Lösung.

Ich habe nun meine Gleichung in ein Rechenprogramm eingegeben und dieses bestätigt mir die 1.39.... deshalb muss der Fehler an der Gleichung liegen.
Die "Aufleitungen" sind auf jeden Fall korrekt.

Ich weiß nicht wo der Fehler sein soll.
Der Grundgedanke ist doch auch richtig.

Edit: Ok ich glaube ich habe einen viel Versprechenden Fehler gefunden. smile

smile

Habe den Fehler ausgebessert.

$\begin{eqnarray*} (4(2t+4+4)-4*6)-(\frac{4}{e}(2t-4+4)-\frac{4}{e}(6+4)) \end{eqnarray*}$

Für t erhalte ich nun -1.77...

Damit liege ich nun näher an der Lösung, aber ganz richtig ist es noch nicht. böse

böse

Ich hatte das +4 unterschlagen. Hammer

Hammer

OMG langsam wird es für einen Helfer echt unübersichtlich.

Edit:

YEEEEEHHHHAAAAAAA smile

smile

smile

Ich habe es endlich geschafft. Ich habe endlich die richtige Lösung heraus bekommen.

Es ist $\begin{eqnarray*} t=\frac{8e-\frac{8}{e}}{8-\frac{8}{e}} \end{eqnarray*}$

Das kann ich noch mit 8kürzen damit es schöner aussieht.

Das hat aber lange gedauert. Hammer

Hammer

Im nachhinein ist es so klar. Mein Rechenweg war immer richtig, aber ich hatte ständig Rechenfehler drin.
Um so mehr freue ich mich jetzt das ich dir richtige Lösung herausbekommen habe. smile

smile

Tanzen

18.02.2012, 22:42

opi

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Das Ergebnis stimmt jetzt, es läßt sich aber noch erheblich vereinfachen. Tip: Bringe zunächst die Ausdrücke in Zähler und Nenner auf jeweils einen gemeinsamen Nenner oder aber erweitere den Bruch mit e.

18.02.2012, 23:57

Gast11022013

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Ich kann es zu $\begin{eqnarray*} t=e+1 \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

Wie meinst du das mit auf den gemeinsamen Nenner bringen?

Wenn ich mit e erweiter bringt mich das auch irgendwie nicht weiter.

Ohh man langsam verfluche ich diese Aufgabe. Big Laugh

Big Laugh

19.02.2012, 00:04

Mathe-Maus

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Hallo Gmasterflash,

wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ ?

Nimmst Du $\begin{eqnarray*} (2-x)e^{0.25x} \end{eqnarray*}$ und setzt x= 1 ? Woher kommst diese Funktion ?

LG Mathe-Maus

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19.02.2012, 00:11

opi

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@Gmasterflash:
Die Vereinfachung ist richtig, aber wie hast Du sie denn gerechnet?

Erweiterung des Bruches mit e führt zu $\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{e-1} \end{eqnarray*}$ , das "riecht" dann schon nach einer binomischen Formel.

@Mathe-Maus:
In dem 18-fach editierten Beitrag stehen einige sonderbare Zwischengedanken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 00:16

Mathe-Maus

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@opi: Die andere Variante für K_1 wäre, dasss t=1 gesetzt wurde .. erscheint mir logischer ...

LG Mathe-Maus

19.02.2012, 00:22

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@Mathe-Maus: In dem 18-fach editierten Beitrag stehen einige sonderbare Zwischengedanken.

Big Laugh

in der Tat Big Laugh

Big Laugh

Auf K_1 komme ich indem ich in K_t für t=1 einsetze.

Das ist glaube ich das einzige was von Anfang an richtig ist.

@opi: ich kann die binomische Formel gerade nicht erkennen. verwirrt

verwirrt

Ist es nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{1-e} \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 00:28

opi

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{e-1} \end{eqnarray*}$ ist schon richtig. Wie kommst Du denn auf Dein Ergebnis?

19.02.2012, 00:31

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler beim abschreiben der Aufgabe. Hammer

Hammer

also bei der Aufgabe verlassen mich echt alle guten Geister.
Das ist ja schrecklich.

19.02.2012, 00:36

opi

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Dann ist jetzt alles geklärt?

Wenn bei einer Aufgabe einmal so richtig der Wurm drin ist, hält er sich hartnäckig. Big Laugh

Big Laugh

19.02.2012, 00:37

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, sorry, sorry für meine Einmischung ..... Ups

Ups

1) Von $\begin{eqnarray*} t=\frac{8e-\frac{8}{e}}{8-\frac{8}{e}} \end{eqnarray*}$ komme ich auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{e-1} \end{eqnarray*}$

Dann 3.Binomi im Zähler ..

2) Aber bei
$\begin{eqnarray*} \int_{-4}^0 (2t-x)e^{0.25x}-(2-x)e^{0.25x}dx=8(e-1) \end{eqnarray*}$

komme ich auf t=2. verwirrt

verwirrt

LG Mathe-Maus

19.02.2012, 00:38

Gast11022013

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Hast du auch integriert??

$\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{e-1}=\frac{(e-1)(e+1)}{e-1}=e+1 \end{eqnarray*}$

Da ich meine Frage schon selber beantwortet habe kannst du dich garnicht einmischen. Mit Zunge

Mit Zunge

Also kein Problem. smile

smile

19.02.2012, 00:41

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde meinen Rechenweg nochmal prüfen !

Vorzeichenfehler bei mir Hammer

Hammer

Ja, t=e+1 ist korrekt !

LG Mathe-Maus Wink

Wink

19.02.2012, 00:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Im 18-fach editieren Post solltest du die Lösung auf deine Frage finden Big Laugh

Big Laugh

.
Ansonsten Lösungsweg posten.

19.02.2012, 01:05

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash
Im 18-fach editieren Post solltest du die Lösung auf deine Frage finden Big Laugh

Big Laugh

.

LOL Hammer

------------------------------------------

Wie schon geschrieben, hatte einen Vorzeichenfehler, kann Dein Ergebnis bestätigen Freude

Freude

LG Mathe-Maus

19.02.2012, 01:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre das ja geklärt.

Danke an alle beteiligten für die Hilfe.
Wink

Wink

19.02.2012, 01:12

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

@Gmasterflash: Der Hinweis von ollie3 ist sehr wertvoll. Das Integral lautet dann nur noch:

$\begin{eqnarray*} 2(t-1)\int_{-4}^0 e^{0.25x}dx=8(e-1) \end{eqnarray*}$

Spart Papier und Rechenzeit .... Big Laugh

Big Laugh

LG Mathe-Maus

19.02.2012, 01:14

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

aiaia.

Dann werde ich wohl nochmal meine Rechnung auf den neusten Stand der Dinge bringen. Freude

Freude

Edit: Bist du dir sicher das das so geht?? Immerhin kommt 2(t-x) im 2tem Teil nicht mehr vor. verwirrt

verwirrt

Es geht schon wieder los. Omg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 01:25

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Für Dich zur Kontrolle des Zwischenergebnisses:

$\begin{eqnarray*} 2(t-1)\int_{-4}^0 e^{0.25x}dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[2(t-1)\cdot 4 e^{\frac{1}{4} x} \right]_{-4}^{0} \end{eqnarray*}$

Dann einsetzen: obere Grenze minus untere Grenze.

19.02.2012, 01:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist ja logisch.
Aber ich kann doch nicht 2(t-1) ausklammern, oder?

Immerhin käme in $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ kein t mehr vor.
Da hat man es doch durch 1 ersetzt.

19.02.2012, 01:29

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash

Edit: Bist du dir sicher das das so geht?? Immerhin kommt 2(t-x) im 2tem Teil nicht mehr vor. verwirrt

verwirrt

Ich schreib´s gleich mal auf ... Moment bitte.

Zusatzhinweis: Da nach x integriert wird, ist alles andere ( z.B. auch t ein Faktor oder eine Konstante), welches ausgeklammert werden kann. (Näheres siehe auch Schulbuch Klasse 12.)

19.02.2012, 01:31

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das t eine Konstante ist, ist mir schon klar.

19.02.2012, 01:36

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)=(2t-x)\cdot e^{0,25x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=(2-x)\cdot e^{0,25x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)= e^{0,25x}\cdot((2t-x)-(2-x) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0,25x}\cdot(2t-x-2+x) ) = e^{0,25x}\cdot(2t-2)= 2(t-1)\cdot e^{0,25x} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 2(t-1)\int_{-4}^0 e^{0.25x}dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[2(t-1)\cdot 4 e^{\frac{1}{4} x} \right]_{-4}^{0} \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 01:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich Idiot.
Natürlich.

Nächstemal erst selber rechnen bevor ich mich beschwere. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke für deine Mühe. Freude

Freude

19.02.2012, 01:42

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommst Du mit dem Einsetzen der oberen und unteren Grenze klar ?

19.02.2012, 01:55

Gast11022013

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Das sollte kein Problem mehr sein.
xD normalerweise stelle ich mich auch nicht so blöd an aber irgendwie ist verlassen mich hier alle guten Geister.
Normalerweise stelle ich mich nicht so blöd an.

19.02.2012, 01:59

Mathe-Maus

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Du stellst Dich doch nicht blöd an unglücklich

unglücklich

Wenn Du noch nicht 12. Klasse bist, hast Du das auch noch nicht in der Schule gehabt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn noch Fragen sind, poste einfach. Opi und andere werden Dir sicherlich auch weiterhelfen ...

LG Mathe-Maus Wink

Wink

19.02.2012, 02:02

Gast11022013

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Ich bin in der 12. Klasse. xD
Also stelle ich mich doch blöd an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 02:13

Mathe-Maus

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Ohje, was macht man mit solch leidungswilligen jungen Männern verwirrt

verwirrt

(Ich habe eine Tochter und die ist eher zickig gewesen in diesem Alter.)

Ich fasse es diplomatisch zusammen:
Du stellst Dich manchmal etwas ungeschickt an Big Laugh

Big Laugh

Ich wünsche Dir jedenfalls viel Erfolg bei allen weiteren Aufgaben Prost

Prost

LG Mathe-Maus Wink

Wink

19.02.2012, 02:16

Gast11022013

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Solang mir sowas nicht in einer Arbeit passiert ist alles ok.
Da konnte ich bisher immer gut Abschneiden.

*Hust*...13Punkte auf dem halb Jahres Zeugnis*Hust* Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen lieben Dank für die Hilfe. Freude

Freude

19.02.2012, 02:38

opi

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Die Aufgabe war nach wenigen Beiträgen gelöst, die bestätigte Lösung wurde allerdings angezweifelt. Hurra, das Thema erstreckt sich jetzt über drei Seiten.
Respekt

Respekt

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