Gleichunggsystem mit 4 unbekannten lösen?!

18.02.2012, 14:28

Twanger

Gleichunggsystem mit 4 unbekannten lösen?!

Ich habe folgendes Gleichunggsystem:

$\begin{eqnarray*} P_1-\frac{1}{4}P_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2-\frac{1}{3}P_3-\frac{1}{4}P_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}P_2+\frac{2}{3}P_3-\frac{1}{4}P_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -P_1-\frac{1}{2}P_2-\frac{1}{3}P_3+\frac{3}{4}P_4=0 \end{eqnarray*}$

Kann ich das mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen? Wenn ich mir die Anleitung hier so anschau, dann glaube ich, dass alle Zahlen rechts neben dem Komma immer 0 bleiben, dann hätte ich am Ende sowas wie P_1 = 0, P_2 = 0 etc. das kann ja nicht sein.

Wie also löse ich dieses Gleichunggsystem also?

18.02.2012, 15:21

Helferlein

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Zitat:

das kann ja nicht sein.

Und wieso nicht? Wenn alle $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ Null sind, ist das System doch gelöst.
Nur weil Dir eine Lösung nicht passt, heisst es nicht, dass das System eine andere Lösung besitzten muss.
Ob es noch weitere Lösungen gibt, kannst Du mit dem Gauß-Alghorithmus ermitteln, den Du im übrigen bei jedem Linearen Gleichungssystem einsetzten kannst.

18.02.2012, 17:42

Twanger

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Die Musterlösung der Aufgabe sagt, dass

$\begin{eqnarray*} P_1 = \frac{1}{10} P_2 = \frac{2}{10} P_3 = \frac{3}{10} P_4 = \frac{4}{10} \end{eqnarray*}$

siehe hier

Wenn sich aber durch den Gauss-Algorithmus, so wie ich ihn verstanden hab, an den Zahlen rechts vom Komma nie was ändert, dann bleiben die natürlich 0, das widerspricht ja meiner Musterlösung.

Edit: Nach längerem Suchen handelt es sich dabei wohl um die "triviale Lösung". Wie aber bekomme ich mit Gauss nun die "nichttriviale" Lösung ermittelt?

18.02.2012, 20:26

Helferlein

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RE: Gleichunggsystem mit 4 unbekannten lösen?!
Multiplizieren wir mal alle Gleichungen mit 12, um die Brüche zu eliminieren:

$\begin{eqnarray*} 12P_1-3P_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12P_2-4P_3-3P_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6P_2+8P_3-3P_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -12P_1-6P_2-4P_3+9P_4=0 \end{eqnarray*}$

Oder als Koeffizientenmatrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12&0&0&-3 \\ 0&12&-4&-3 \\ 0&-6&8&-3 \\ -12&-6&-4&9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Addieren der ersten mit der letzten Gleichung erhältst Du
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12&0&0&-3 \\ 0&12&-4&-3 \\ 0&-6&8&-3 \\ 0&-6&-4&6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schließlich noch die dritte und vierte Gleichung verdoppeln und die zweiten dazu addieren und spätestens dann erkennst Du, dass das System nicht eindeutig lösbar ist und man die dritte oder vierte Variable wählen kann.

19.02.2012, 09:50

Twanger

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Das sollte dann in etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 12 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & 12 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Vorgehensweise richtig verstanden hab, muss ich nun von unten nach oben einsetzen, also, die 3. Zeile nach $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ umgestellt:

$\begin{eqnarray*} p_3 = \frac{3}{4} p_4 \end{eqnarray*}$

Das würde ich in die zweite Zeile einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ auflösen:
$\begin{eqnarray*} p_2=2p_4 \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich nicht mehr weiterwissen. Aus der ersten Zeile könnte ich noch nach $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ umstellen:

$\begin{eqnarray*} p_1 = \frac{1}{2}p_2 \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 20:39

Helferlein

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Das erste stimmt, beim zweiten ist Dir ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} 12 p_2=4p_3+3p_4=6p_4 \end{eqnarray*}$

Wie Du auf die letzte Gleichung kommst, ist mir dann ein Rätsel. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 12p_1 - 3p_4 = 0 \Leftrightarrow p_1=... \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Lösung richtig deute, haben wir es mit Wahrscheinlichkeiten zu tun, demnach ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4p_i=1 \end{eqnarray*}$ noch extra zu berücksichtigen, um eine eindeutige Lösung zu bekommen.

21.02.2012, 11:17

Twanger

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Ja jetzt konnte ich es nachvollziehen, vielen Dank für deine Hilfe!

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