volumenherleitung eines tetraeders mit rotationsintegral

18.02.2012, 15:09	diemensch	Auf diesen Beitrag antworten »
volumenherleitung eines tetraeders mit rotationsintegral heya, ich bräuchte bisschen hilfe bei der herleitung des volumens eines Tetraeders(mittels rotationsintegral) für die querschnittsfläche dachte ich mir gilt: $\begin{eqnarray} a_x/a=a-x/a -->a_x=a-x \end{eqnarray}$ a_x-->grundseite in abhängigkeit von x für die höhe entsprechend: $\begin{eqnarray} (\sqrt{3}/2)a_x \end{eqnarray}$ als : $\begin{eqnarray} Q(x)=(a-x)((\sqrt{3}/2)(a-x)) \end{eqnarray}$ wenn ich das nun von 0 bis a integriere komme ich aber auf $\begin{eqnarray} (\sqrt{3}/6) a^3 \end{eqnarray}$ , was offensichtlich falsch ist.. wo ist mein denkfehler? danke
18.02.2012, 19:04	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: volumenherleitung eines tetraeders mit rotationsintegral Geht es da wirklich um einen Tetraeder? Mir will nicht einleuchten, wie Du den mittels Rotation erzeugen bzw. berechnen willst. Ganz grob gesagt ist das ein Körper mit vier Ecken, oder? Auch eine Skizze wäre gut. Ich sehe bis jetzt nur, dass es irgenwie um ein gleichseitiges Dreieck geht, weil Deine Formel die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck beschreibt. Vielleicht fehlt ja auch nur mir der Durchblick und ich will natürlich keiner Antwort von jemandem, der das besser versteht, im Wege stehen.
18.02.2012, 20:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht doch mehr nach dem Volumen eines Kegels aus.(?) Schreib eine vernünftige Randfunktion z.B. y=-3(x-a) und die Rotation um die y_Achse geht so: $\begin{eqnarray} \rm V_{Rot_y}=\pi\int_{y=0}^{y=y_s} x^2 \,\dd y \end{eqnarray}$
19.02.2012, 00:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ diemensch Du sprichst sehr mißverständlich. Anscheinend willst du das Tetraedervolumen mit einem Integral berechnen. Und dabei kannst du natürlich über die Querschnittsflächen integrieren. Das ist der Satz von Fubini. Eine Rotation steckt jedoch nicht dahinter. Und dann sind mir deine Formeln höchst unklar. Von der falschen Klammersetzung will ich einmal gar nicht anfangen. Aber wie soll man deine Formeln lesen, wenn man nicht einmal weiß, um was für ein Tetraeder es geht. Ist es ein reguläres Tetraeder? Auf der anderen Seite gilt für das Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ jeder Pyramide (jedes Kegels) allgemein: $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} Gh \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ der Inhalt der Grundfläche und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ die Höhe der Pyramide. Und mit Integralrechnung geht der Beweis recht einfach. Schnitte parallel zur Grundfläche zerlegen die Pyramide in eine kleine Pyramide und einen Pyramidenstumpf. Die kleine Pyramide möge die Höhe $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ besitzen. Eine Streckung mit dem Streckfaktor $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{x}{h} \end{eqnarray}$ führt die gesamte Pyramide in die kleine Pyramide über. Bei Streckungen nehmen Flächeninhalte das Quadrat des Streckfaktors auf. Die Grundfläche der kleinen Pyramide hat daher den Inhalt $\begin{eqnarray} Q(x) = G \cdot \lambda^2 = G \cdot \frac{x^2}{h^2} = \frac{G}{h^2} \cdot x^2 \, , \ \ x \in [0,h] \end{eqnarray}$ Die Integration über $\begin{eqnarray} Q(x) \end{eqnarray}$ führt auf das Pyramidenvolumen. $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ sind Konstante. Wenn du dann konkret das Volumen eines regulären Tetraeders suchst, mußt du $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ spezialisieren. Unter Verwendung der Tatsache, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (beim gleichseitigen Dreieck sind das zugleich die Höhen) im Verhältnis 2:1 teilen, kannst du $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ in einem geeigneten rechtwinkligen Dreieck berechnen. Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray} h \neq a \end{eqnarray}$ .

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