Abbildungen sollen kommutieren

18.02.2012, 17:26

Kimi_R

Abbildungen sollen kommutieren

Hallo Matheboard,

beim Wiederholen meines Algebra-Skripts versteh ich einen kleinen Beweisschritt nicht. Vielleicht kann sich das ja mal jemand ansehen:

Es geht um die Aussage: MinPol(x|K)=MinPol(y|K) <=> x,y sind K-konjugiert.
Bei der Rückrichtung hat unser Prof. angenommen, dass f=MinPol(x|K) sei und sigma ein Automorphismus mit sigma(x)=y.

Ich versteh im Folgenden das 2. "=" nicht
$\begin{eqnarray*} 0=\sigma(f(x))=f(\sigma(x))=f(\beta) \end{eqnarray*}$

Wieso darf man annehmen, dass f und sigma kommutieren? Zwar ist sigma ein Automorphismus, aber f ist ja im Allgemeinen kein Homomorphismus, sondern "irgend eine" Abbildung.

Wieso darf man hier dennoch f und sigma vertauschen? Mir fällt ehrlich gesagt kein entsprechender Satz ein.

18.02.2012, 17:30

Leopold

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RE: Abbildungen sollen kommutieren

Zitat:

Original von Kimi_R
Zwar ist sigma ein Automorphismus, aber f ist ja im Allgemeinen kein Homomorphismus, sondern "irgend eine" Abbildung.

Nein, nicht "irgendeine", sondern ein Polynom!

18.02.2012, 22:52

Kimi_R

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RE: Abbildungen sollen kommutieren

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Kimi_R
Zwar ist sigma ein Automorphismus, aber f ist ja im Allgemeinen kein Homomorphismus, sondern "irgend eine" Abbildung.

Nein, nicht "irgendeine", sondern ein Polynom!

Die Korrektur ist sicher angebracht, dafür schon mal danke
Aber soll sie auch die Frage beantworten? Polynomringe sind ja im allgemeinen selber nicht mal kommutativ

19.02.2012, 16:10

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist hier keine Unbestimmte, sondern ein Element eines Oberkörpers von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ein ganzrationaler Ausdruck in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Mit Multiplikationen und Additionen verträgt sich $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ aber wunderbar, denn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist ein Körperautomorphismus. Und auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ sogar die Identität, so daß er die Koeffizienten des Polynoms ungeändert läßt.

19.02.2012, 17:04

Kimi_R

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Damit dürfte alles geklärt sein.
Vielen Dank für deine Hilfe Freude

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