Konvergenz von Reihen

19.02.2012, 01:18

Matzemathiker

Konvergenz von Reihen

Guten Abend, ich habe nur zu einer Aufgabe bzgl Konvergenz eine Frage, undzwar geht es um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k} }{2^{n+2} } \end{eqnarray*}$

Um die auf Konvergenz zu überprüfen , überprüfe ich zu aller erst das notwendige Kriterium, und zwar , ob die Reihe eine Nullfolg ist. Dabei habe ich festgestellt, dass die Rehe gegen Unendlich geht, also keine Nullfolge und damit hat sich der Rest der Überprüfung erledigt.

ich wollte das Quotientenkriterium anwenden und hab das auch gemacht, obwohl ich wusste , dass sie divergiert. Dabei bin ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} > 1 \end{eqnarray*}$

Also divergent auch nach der Überprüfung mit dem Quotientenkriterium.

Habt ihr dazu was zu anzumerken, Anregungen oder hab ich das soweit richtig gemacht. Würde mich um eine Antwort sehr freuen

19.02.2012, 03:58

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Wirklich ? $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k}}{2^{n+2} }= \frac{1}{2^{n+2}} \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty 3^{k} \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 04:16

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Für den Fall $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k}}{2^{k+2} } \end{eqnarray*}$ klammere $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^2} \end{eqnarray*}$ aus und erkenne, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3^{k}}{2^{k}} ~= \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{3}{2})^{k} \end{eqnarray*}$ eine geometrische Reihe ist mit $\begin{eqnarray*} q ~= \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Teile konvergieren btw. für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ (wobei ab k=0 zu summieren ist).

2 ct.

19.02.2012, 13:30

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
falls $\begin{eqnarray*} q = \frac{3}{2} > 1 \end{eqnarray*}$ , wäre dann die Reihe divergent, wenn ich das richtig verstanden habe. ich habe das ein wenig umformuliert und habe es im Anhang.

19.02.2012, 13:38

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Falsch. - 1-te Zeile, 2-te Summe.

19.02.2012, 14:51

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
$\begin{eqnarray*} 2^{n+2}=2^{n+1} \cdot 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder ?

Dann folgt doch $\begin{eqnarray*} 2^{n+2}=2^{n+1} \cdot 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2^{n} \cdot 2\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(2^{n} )\cdot 4 \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 14:54

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Matzemathiker
$\begin{eqnarray*} 2^{n+2}=2^{n+1} \cdot 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Setz da mal n=1 ein.

19.02.2012, 14:56

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
$\begin{eqnarray*} 2^{n+2}=2^{n+1} + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

also so ?

19.02.2012, 23:24

histo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} 2^{n+2} = 2^{n+1} \cdot 2 = 2^{n} \cdot 2 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 3^{4} = 3^{3+1} = 3^{3} \cdot 3^{1} = ... = 81 \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 00:46

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

oh Gott mach ich mir das Leben schwer.

Nagut, habe es damit nun nach der geom. Reihe ausgerechnet und komme auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 02:31

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte geschrieben: Falsch. - 1-te Zeile, 2-te Summe.
Und ich meinte: Du hast den Exponenten k plötzlich vergessen.
Und wenn ich sage, die Reihe divergiert, weil q= 3/2 > 1 ,dann ist das so.

Und wenn Du bis Weihnachten rechnest, dass die Reihe konvergiert, dann ist die Rechnung falsch !!!

20.02.2012, 11:23

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, ich habe aber auch schon ganz zu Anfang geschreiben, dadurch, dass ich dass notwendige Kriterium genutzt habe und es keine Nullfolge ist, dass es divergiert (oder nicht konvergiert)

Ich habe das alles nicht wirklich nachvollziehen können, was du geschrieben hast.
Außerdem ganz am Rande, hast du nicht direkt gesagt, dass die Reihe divergiert !!!

Susiquad: Und wenn ich sage, die Reihe divergiert, weil q= 3/2 > 1 ,dann ist das so.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihen

Verwandte Themen