Mengenlehre, Aussage über alle natürlichen Zahlen

19.02.2012, 10:52

schüler_mathe12

Mengenlehre, Aussage über alle natürlichen Zahlen

Meine Frage:
Hallo,

folgender Beweis:

Sei A(n) eine Aussage über alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq a \end{eqnarray*}$ (a dabei aus N und fest gewählt). A(n) ist für alle $\begin{eqnarray*} n\geq a \end{eqnarray*}$ richtig, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

(I) A(a) ist richtig.

(II) Aus der Annahme der Gütltigkeit von A(n) für alle n mit $\begin{eqnarray*} g /geq n\geq a \end{eqnarray*}$ folgt stets die Gültigkeit von A(k+1)

Ich kann den Satz noch nachvollziehen aber ich verstehe die beiden Bedingungen nicht. Könnte mir das jemand für "NichtStudenten" erklären?

Meine Ideen:
Ich denke das A(n) bedeutet das eine Menge A mit der Eigenschaft n existiert. Allerdings ist m ir beispielsweise nicht klar was mit A(a) gemeint ist. Ist dies die Menge A mit der Eigenschaft a? Hat jene dann noch etwas mit A(n) zu tun?

19.02.2012, 11:13

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich hierbei um das Prinzip der vollständigen Induktion, ein Beweisverfahren, welches oft für Aussagen über alle natürlichen Zahlen verwendet wird.

A(n) ist keine Menge, es ist eine Aussage. Eine bekannte wäre etwa: für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ . In Worten ausgedrückt: die Summe der Zahlen von 1 bis n ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ .

Dein Anfangswert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wäre in diesem Fall die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , da die Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll. Dass $\begin{eqnarray*} A(1) \end{eqnarray*}$ richtig ist, kann man einfach nachrechnen.

20.02.2012, 14:42

Daniel1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Es handelt sich hierbei um das Prinzip der vollständigen Induktion, ein Beweisverfahren, welches oft für Aussagen über alle natürlichen Zahlen verwendet wird.

A(n) ist keine Menge, es ist eine Aussage. Eine bekannte wäre etwa: für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ . In Worten ausgedrückt: die Summe der Zahlen von 1 bis n ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)}2 \end{eqnarray*}$ .

Dein Anfangswert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wäre in diesem Fall die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , da die Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll. Dass $\begin{eqnarray*} A(1) \end{eqnarray*}$ richtig ist, kann man einfach nachrechnen.

Hallo,

ist mein obiges Beispiel also eine Art Verallgemeinerung für Induktion?
Wie darf ich mir z.B. A(n) vorstellen? Oder was ist A(k+1). Ich verstehe von hinten bis vorne nur sehr wenig. Hättest du evtl. eine Seite die das erklärt falls es hier zu lange dauern würde?
Wäre sehr nett. smile

Und sorry, konnte zeitweise nicht auf meinen eigentlichen Acc zugreifen, deshalb der Nick oben.

MfG

Neue Frage »

Antworten »

Mengenlehre, Aussage über alle natürlichen Zahlen

Verwandte Themen