Menge mit 5 Elementen Eigenschaften

19.02.2012, 14:36	acuter	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge mit 5 Elementen Eigenschaften Meine Frage: Hallo ich hab ein Problem bei einer Übungsaufgabe. Gegeben ist eine Menge mit 5 Elementen. Hierzu soll angegeben werden: wie viele Relationen gibt es, wie viele sind reflexiv, wie viele sind symmetrisch und so weiter. Meine Ideen: Also ich habe selbst folgende Idee, bin mir aber nicht sicher ob es so richtig ist und wie man an so eine Aufgabe an besten herangeht. gesamt: $\begin{eqnarray} 2^{25} \end{eqnarray}$ reflexiv: $\begin{eqnarray} 2^{20} \end{eqnarray}$ irreflexiv: $\begin{eqnarray} 2^5 \end{eqnarray}$ symmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^5 \end{eqnarray}$ asymmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{15} \end{eqnarray}$ antisymmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{20} \end{eqnarray}$ reflexiv und symmetrisch: ? symmetrisch und antisymmetrisch: ?
19.02.2012, 17:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo du die Ergebnisse hernimmst, die du als deine Ideen bezeichnest, ist unklar. Die übliche Vorgensweise ist folgende. Eie Relation $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray} R\subset M\times M \end{eqnarray}$ des cartesischen Produkts $\begin{eqnarray} M\times M \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ 5 Elemente hat, dann hat $\begin{eqnarray} M\times M \end{eqnarray}$ 25 Elemente und die Potenzmenge hat $\begin{eqnarray} 2^{25} \end{eqnarray}$ Elemente. Das ist die Anzahl der Relationen auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du "nur" noch überprüfen, wievielen Relationen die jeweils gewünschten Eigenschaften zukommen. Durch aufschreiben und abzählen geht das bestimmt nicht, hier ist Gedankenarbeit notwendig, weil $\begin{eqnarray} 2^{25}=33554432 \end{eqnarray}$ .
19.02.2012, 18:38	acuter	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut unserer Übungsleiterin sollten wir es mithilfe einer Matrix anzählen können. Da ich keine Ahnung habe, wie ich das aus der Matrix abzählen soll, hab ich es nach besten Gewissen versucht. War ja deshalb auch nur ein Vorschlag. Wenn ich nun alle Paare in eine Matrix schreibe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) \\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sind alle reflexiven Elemente ja auf der Hauptdiagonalen. Also dachte ich es gibt $\begin{eqnarray} 2^{5} \end{eqnarray}$ reflexive Funktionen. Ist das soweit richtig?
19.02.2012, 21:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel findest du hier.
19.02.2012, 21:45	acuter	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich hab nocheinmal darüber nachgedacht. Mein neuer Lösungsvorschlag: gesamt: $\begin{eqnarray} 2^{25} \end{eqnarray}$ , wie Elvis erklärt hat. reflexiv: $\begin{eqnarray} 2^{5} \end{eqnarray}$ , man kann aus der Hauptdiagonalen wählen irreflexiv: $\begin{eqnarray} 2^{20} \end{eqnarray}$ , man kann alle außer die reflexiven wählen symmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{10} \end{eqnarray}$ , man wählt aus einem Dreieck asymmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{10} \end{eqnarray}$ , man wählt wieder aus einem Dreick, je nachdem was man gewählt hat wird der symmetrische wert aus dem anderen Dreieck nicht genommen antisymmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{15} \end{eqnarray}$ , man wählt wieder aus einem Dreieck und aus der Hauptdiagonale reflexiv und symmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{10} \end{eqnarray}$ , die refliven werte der Hauptdiagonalen stehen drin und es wird aus einem Dreick gewählt symmetrisch und antisymmetrisch: $\begin{eqnarray} 2^{5} \end{eqnarray}$ , man wählt aus der Hauptdiagonalen Bin ich näher dran?
20.02.2012, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Relation ist reflexiv, wenn für alle x aus M gilt (x,x) aus R. Daher hat man genau die Teilmengen der Potenzmenge, die die 5 Elemente der Hauptdiagonale enthalten. Die restlichen 20 Paare sind die Grundlage einer neuen Potenzmenge. Also ? Eine Relation ist irreflexiv, wenn für alle x aus M gilt (x,x) nicht aus R. Daher hat man genau die Teilmengen der Potenzmenge, die die 5 Elemente der Hauptdiagonale nicht enthalten. Die restlichen 20 Paare sind die Grundlage einer neuen Potenzmenge. Also ?
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