Logarithmische Gleichungen

19.02.2012, 16:40

Tipso

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Logarithmische Gleichungen

Hi,

Erstmal Poste ich eine Vorgabe mitsamt Lösungsweg, da ich den Lösungsweg nicht verstehe.

Danach 2 Beispiele, welche ich selber rechnen

Danach 2 Beispiele, wo ich nicht weiter weiß.

Lg

Löse die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 6 * \left(lg (x) \right)^2 + 2 = lg (x^7) \end{eqnarray*}$ für G = R^{+}

Lösung:

$\begin{eqnarray*} 6 * \left(lg (x) \right)^2 - 7 lg (x) + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ // lg (x) = u

$\begin{eqnarray*} 6u^2 - 7u + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Wieso wird daraus ?!!

$\begin{eqnarray*} u^2 - (7/6) * u + (1/3) = 0 \end{eqnarray*}$

(7/6) * u =´?? woher (7/6)

$\begin{eqnarray*} u_{1,2} = (7/12) \pm \sqrt{(49/144) - (48/144)} = (7 + 1 )/12 \end{eqnarray*}$

Wie bzw woher kommt die Wurzel?!

$\begin{eqnarray*} u_1 = (2/3) = x_1 = 10^{u1} = 10^{2/3} = \sqrt[3]{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2 = (1/2) = x_2 = 10^{u2} = 10^{1/2} = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

lg

_________________________________________________

Hier die 2 Aufgaben, welche Freude

Freude

sein sollten.

$\begin{eqnarray*} lg (x) + lg (2x) - lg (4x) = lg 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg ( x * 2x ) - lg ( 4x ) = lg 2<br /> <br /> lg (2 x^2) - lg (4x) = lg 2<br /> <br /> lg \left(\frac{2x^2}{4x} \right) = lg2<br /> <br /> lg ( 0,5x ) = lg 2<br /> <br /> 0,5 = 2 <br /> <br /> x = 4 \end{eqnarray*}$

_______________________________________________

$\begin{eqnarray*} lg (x) - lg (2x) + lg (3x) = lg (1,5)<br /> <br /> lg ( \frac{x}{2x}) + lg (3x) = lg (1,5)<br /> <br /> lg ( 0,5 ) + lg ( 3x ) = lg (1,5) <br /> <br /> lg ( 0,5 * 3x ) = lg (1,5 ) <br /> <br /> lg (1,5x) = lg (1,5) <br /> <br /> 1,5 = 1,5 <br /> <br /> x = 1 \end{eqnarray*}$

_______________________________________________

edit von sulo: Dreifachpost zusammengefügt.

19.02.2012, 16:51

Equester

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Gehen wir erst mal den ersten Post an:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 6 * \left(lg (x) \right)^2 - 7 lg (x) + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ // lg (x) = u

$\begin{eqnarray*} 6u^2 - 7u + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Du hast hier substituiert. D.h. du ersetzt alle lg(x) durch u Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Wenn dastand (lg(x))², dann hast du nun (u)²=u².

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u^2 - (7/6) * u + (1/3) = 0 \end{eqnarray*}$

(7/6) * u =´?? woher (7/6)

Das folgende ist ganz normal die pq-Formel. Vor dem x² hat eine 1 zu stehen...du dividierst
durch 6. Für den Rest siehe die pq-Formel selbst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u_1 = (2/3) = x_1 = 10^{u1} = 10^{2/3} = \sqrt[3]{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2 = (1/2) = x_2 = 10^{u2} = 10^{1/2} = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

Da haste ein paar Gleichheitszeichen zu viel. Du findest raus was u ist und resubstituierst.
Aber $\begin{eqnarray*} u\neq x \end{eqnarray*}$ !

19.02.2012, 16:54

Tipso

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Hier nun die 2 Beispiele, wo ich auf der Strecke bleibe.

$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right) = lg \left(3x - 1\right) + lg (3)<br /> <br /> lg \left(6x + 3\right) = lg \left(9x - 3\right) \end{eqnarray*}$

soweit richtig ?!
Wie gehts weiter ??!
lg

______________________________________________________

Also die Gleichung wird nach der pq- Formel umgeformt ?

Ich verstehe das ganze noch immer nicht, werde mir also die pq- Formel mal genau ansehen müssen. verwirrt

verwirrt

Thx soweit, ich würde gerne die 2 Beispiele rechnen Gott

Gott

smile

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

19.02.2012, 17:04

Equester

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Oo Die pq-Formel sollte Grundausstattung sein!
Unbedingt anschaun und aneignen! Eins der wichtigsten Hilfsmittel in der Mathematik!

Die beiden Beispiele (deren Lösung du komplett gepostet hast) sind bis auf die jeweils
vorletzte Zeile richtig. Da hast du jeweils das x vergessen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu deinem "Problem"beispielen:
Warum hast du 3x mit 3 multipliziert und die -1 mit der 3 nicht? Hat das 3x ein Vorrecht auf
Multiplikationen, oder wie?^^

19.02.2012, 17:09

Tipso

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Thx für den Tipp, werde ich mir aneignen.

Das mit der 1 war ein Tippfehler Freude

Freude

Ich weiß jedoch nicht was ich weiter machen soll, ich weiß das ich den logarithmus entlogarithmieren kann aber das bringt mich hier ja auch nicht weiter ..

19.02.2012, 17:12

Equester

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Zitat:

ich weiß das ich den logarithmus entlogarithmieren kann

Dann mach mal. Sehen wir dann erst mal, wies aussieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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19.02.2012, 17:18

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right) = lg \left(9x - 3\right) \end{eqnarray*}$

nö, das geht doch nicht x)))
Das ginge bei einer Multipli. oder Division.

vielleicht:

$\begin{eqnarray*} 0 = lg\frac{ \left(9x - 3\right)}{ \left(6x + 3\right)} \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 17:27

Equester

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Ich dachte du willst "entlogarithmieren"? :P

Nimm auf beiden Seiten die Zehnerpotenz! Was ergibt sich dann? smile

smile

19.02.2012, 17:40

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right)^10 = lg \left(9x - 3\right)^10 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} lg (10 * \left(6x + 3\right)) = lg ( 10 * \left(9x - 3\right) ) \end{eqnarray*}$

pheww

19.02.2012, 17:43

Equester

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verwirrt

Wie haben dies im Beispiel gemacht?! Da hasts uns zwar nicht explizit hingeschrieben,
aber ich gehe von einem Vermerk im Heft aus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 17:47

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right)^{10} = lg \left(9x - 3\right)^{10} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} lg (10 * \left(6x + 3\right)) = lg ( 10 * \left(9x - 3\right) ) \end{eqnarray*}$

pheww

hier richtiggestellt.

Ich verstehe nicht genau was du meinst.
Im Beispiel ist der Rechenweg schon angegeben ?!

19.02.2012, 17:49

Equester

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Zitat:

Original von Tipso
lg (1,5x) = lg (1,5)

1,5x = 1,5

Und wie sind die hier drauf gekommen?
Das brauchen wir für unseren Teil auch!

19.02.2012, 17:54

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right) = lg \left(9x - 3\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg \left(9x\right) = lg \left(6x\right) \end{eqnarray*}$

9x = 6x ?!

19.02.2012, 17:55

Equester

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Du solltest Magier werden geschockt

geschockt

. Wo ist die 3 hin?

Für die letzten beiden Zeilen hast du immerhin das richtige gemacht :P.

19.02.2012, 18:02

Tipso

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Ich weiß leider nicht wo die 3 fehlt Wink

Wink

Zitat please.

Aber wir sind jetzt bei

9x = 6x

soweit ist es richtig ?!

hm x)

9x = 6x

3x = 0

x= 0

19.02.2012, 18:05

Equester

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Wie kommst du von hier

$\begin{eqnarray*} lg \left(6x + 3\right) = lg \left(9x - 3\right) \end{eqnarray*}$

auf hier?

$\begin{eqnarray*} lg \left(9x\right) = lg \left(6x\right) \end{eqnarray*}$

Du hast einfach die 3en weggezaubert verwirrt

verwirrt

.

Zitat:

Aber wir sind jetzt bei
9x = 6x
soweit ist es richtig ?!

Nope. Der Schritt:
$\begin{eqnarray*} lg \left(9x\right) = lg \left(6x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x = 6x \end{eqnarray*}$

war richtig. Aber die 3er fehlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.02.2012, 18:21

Tipso

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Achso

ich habe eigentlich gerechnet:

6x + 3 = 9x

9x - 3 = 6x

Ist wohl falsch.

Also, klammern kann man glaub i weglassen ?! Warum ?!

6x + 3 = 9x - 3 / -3

6x = 9x -6 / -9x

-3x = - 6 / /-3

x = 2

19.02.2012, 18:27

Equester

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Zitat:

ich habe eigentlich gerechnet:
6x + 3 = 9x

Wie auch immer du da drauf kommst Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Da fehlt die -3 auf der linken Seite.

Der zweite Teil ist richtig. Das Ergebnis stimmt Freude

Freude

.
Du kannst schreiben (5+3)=8 oder 5+3=8. Das macht keinen Unterschied.
Wenn du aber hast x^(5+3) oder x^5+3 macht das sehr wohl einen Unterschied!
x^(5+3)= $\begin{eqnarray*} x^{5+3} \end{eqnarray*}$ oder x^5+3= $\begin{eqnarray*} x^5+3 \end{eqnarray*}$ .
Manchmal sind sie notwendig, manchmal nicht mehr ^^.

19.02.2012, 18:30

Tipso

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Verstehe thx Freude

Freude

________________________________________

Hier das zweite Beispiel:

$\begin{eqnarray*} lg ( x ) + lg ( x + 1 ) = 2 * lg ( 1 - x ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg (x) + lg (x+1) = lg ( 2 - 2x ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> lg ( x * x +1 ) = lg ( 2 - 2x ) <br /> <br /> lg ( x^2 + x ) = lg ( 2 - 2x ) \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

19.02.2012, 18:32

Equester

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Wenn du das x reinmultiplizierst ist die Klammer wichtig!
$\begin{eqnarray*} x*(x+1)\neq x*x+1 \end{eqnarray*}$ !

Schau nochmals nach dem Logarithmengesetz bzgl der 2. Die kannste nicht einfach
reinmultiplizieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.02.2012, 18:39

Tipso

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[quote]Original von Tipso
Hier das zweite Beispiel:

$\begin{eqnarray*} lg ( x ) + lg ( x + 1 ) = 2 * lg ( 1 - x ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg (x) + lg (x+1) = lg ( 2x )^2 \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir das jetzt x)

19.02.2012, 18:54

Equester

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Erst mal richtig machen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Neuer Versuch -> bring die 2 in den Logarithmus rein! smile

smile

19.02.2012, 19:07

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg ( x ) + lg ( x + 1 ) = 2 * lg ( 1 - x ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg (x) + lg (x+1) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 19:08

Equester

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Ahh...

Idee!

Nun weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 19:10

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg (x) + lg (x+1) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg (x * x + 1 ) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 19:12

Equester

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Die Klammer im linken Teil fehlt immer noch!

19.02.2012, 19:15

Tipso

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$\begin{eqnarray*} lg (x *( x + 1) ) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg ( x^2 + x ) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 19:16

Equester

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Geht doch

smile

.

Weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 19:19

Tipso

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phew

Bin ein bisschen raus.

x^2+x = x^3 vlleicht ?!

_____________________________________________________

Obwohl

x^1 = x

x^2 + x^1 = x^3

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

19.02.2012, 19:23

Equester

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Wie kommst du auf die rechte Seite?
Was haben wir denn bisher immer gemacht?
So wie ich es bei dir gesehen hab: den log auf beiden Seiten weglassen.

Da steckt dies dahinter:
$\begin{eqnarray*} lg ( x^2 + x ) = lg ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

10 drunter setzen:
$\begin{eqnarray*} 10^{lg ( x^2 + x )} = 10^{lg ( 1 - x )^2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} 10^{lg{x}}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x = ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

Klar? smile

smile

19.02.2012, 19:27

Tipso

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achso genau ... x) Freude

Freude

10 drunter setzen:
$\begin{eqnarray*} 10^{lg ( x^2 + x )} = 10^{lg ( 1 - x )^2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} 10^{lg{x}}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x = ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

x^3 = 1 - 2x - x^2

x^5 = 1-2x

x^7 = 1

x = (1/7)

19.02.2012, 19:28

Equester

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Schockschwerenot!
x²+x ist nicht x³!

Probe: 3²+3=3*3+3=12
3³=27
...

Merken! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Neuer Versuch! Mit Konzentration smile

smile

.

19.02.2012, 19:33

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2 + x = ( 1 - x )^2 \end{eqnarray*}$

ich lasse die Linke Seite erstmal.

x^2 + x = 1 - 2x + x^2

x^4+3x = 1
__________________________________________________

oder x^2 = x + x

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

19.02.2012, 19:37

Equester

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Weder das eine noch das andere stimmt unglücklich

unglücklich

.

Diese einfache Umformungen sind Grundlagen die sitzen müssen.
Ich befürchte noch etwas, was du dir anschaun musst.

Du kannst unterschiedliche Potenzen nicht einfach summieren.

x²+x ist nicht weiter zu vereinfachen.

Das ist richtig:
x^2 + x = 1 - 2x + x^2 |-x²
x=1-2x |+2x
3x=1
x=1/3

Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2012, 19:40

Tipso

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Verstehe Thx.

Hast vll. Tipps wo ich mir Umforumungen anschauen kann.

x)

19.02.2012, 19:43

Equester

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Ne gute Seite die ich empfehlen kann, hab ich jetzt nicht zur Hand.
Doch gibs einfach mal in Google ein. Gibts auf jeden Fall was Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.02.2012, 19:46

Tipso

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Jap

Big Laugh

Thx nochmal, Top Freude

Freude

Mit Zunge

19.02.2012, 19:48

Equester

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Freut mich, wenn ich helfen konnte smile

smile

.

Unbedingt anschaun:
pq-Formel
Gleichungsumformungen

Wink

Wink

19.02.2012, 20:11

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap.

Thx Freude

Freude

Wink

smile

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