Exponentialgleichungen

19.02.2012, 16:27

Tipso

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Exponentialgleichungen

Hi,

Hier die Aufgabenstellung:

Löse
(1) = Ohne Logarithmierung
(2) = mit Logarithmierung zu einer günstigen Basis die gegebenen Gleichungen in R!
Führe jeweils die Probe durch.

Hier 4 Beispiele die mir Schwierigkeiten bereiten.

1. $\begin{eqnarray*} 25^{2x-1} = 625 \end{eqnarray*}$

Bei der Lösung ohne Logarithmierung weiß ich nicht was ich machen kann.

Bei der 2 Anforderung komme ich soweit.

$\begin{eqnarray*} 25^{2x-1} = 625<br /> <br /> lg (25^{2x-1}) = lg ( 625 ) <br /> <br /> (2x - 1) * lg ( 25 ) = lg ( 625 ) \end{eqnarray*}$

lg

19.02.2012, 16:29

Equester

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Das ist zwar bisher richtig, aber jetzt tust du dir schwer.
Schwerer als wenn du eine sinnvolle Basis gewählt hättest.

Aber bevor du etwas in der Richtung machst, würde ich erst mal die 625 umschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das hilft dir auch für (1).

19.02.2012, 16:43

Tipso

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RE: Exponential Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 25^{2x-1} = 625<br /> <br /> lg (25^{2x-1}) = lg ( 625 ) <br /> <br /> (2x - 1) * lg ( 25 ) = lg ( 625 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg ( 25^{2x-1}) = lg ( 5^4 ) \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit sinnvoller -Logarithmusbasis, die Logarithmusbasis ist doch lg = 10.
Sonst wäre da noch ln = e.

Ich finde die Basis 10 ist immer die leichteste.

lg

19.02.2012, 16:45

Equester

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625=5^4 ist zwar richtig, aber für diese Aufgabe nicht ganz sinnvoll.
Wie kannst dus noch umschreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ich finde die Basis 10 ist immer die leichteste

Da kannst du viel finden. Ist aber falsch. Hier bietet sich eindeutig eine andere, einfachere
Basis an!

Beachte: $\begin{eqnarray*} lg_a(a^x)=x \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 16:51

Tipso

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RE: Exponential Gleichungen
Verstehe x)
Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} 25^{2x-1} = 625<br /> <br /> = log_{25}(2x-1) = log_{25}(2) \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 16:54

Equester

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Fast richtig.
Die Idee ist sogar goldrichtig Freude

Freude

.

$\begin{eqnarray*} 25^{2x-1} = 625 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{25}(25^{(2x-1)}) = log_{25}(25^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2x-1) =2 \end{eqnarray*}$

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19.02.2012, 16:59

Tipso

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$\begin{eqnarray*} (2x-1) =2 \end{eqnarray*}$

x=2 Freude

Freude

19.02.2012, 17:06

Equester

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Leider falsch. Wie bist du auf die Umformung gekommen?

19.02.2012, 17:08

Tipso

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ich dachte 2x -1 = x

x = 2 x)

vll eher.

(2x - 1 ) = x / + 1

2x = 3 / /2

x = (3/2)

19.02.2012, 17:12

Equester

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(2x - 1 ) = 2 / + 1

2x = 3 / /2

x = (3/2)

Yup, jetzt stimmts. Mach die Probe Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Eine Idee, wie wir das ganze ohne Logarithmus lösen können?
Beachte: 625=25²

19.02.2012, 17:17

Tipso

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Probe passt.

Ohne Logarithmus

25^{2x-1} = 25^2

2x - 1 = 2 / +1

2x = 3

/ 2

x = (3/2)

19.02.2012, 17:20

Equester

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Ich würde noch en Satz einbauen:

25^{2x-1} = 25^2

Gleiche Basis: Vergleich der Exponenten

2x - 1 = 2 / +1

oder so smile

smile

.

Freude

19.02.2012, 17:22

Tipso

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Alles klaro.

Freude

Freude

smile

smile

smile

19.02.2012, 17:22

Tipso

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Nächste Aufgabe ( Bis 24 Uhr die letzte x) ) :

216^{1-2x}=36

hmm, hier ist es wahrscheinlich wieder wichtig einen geeigneten Logarithmus zu finden, 216/6= 36.

Also Log von 6 ?!

19.02.2012, 17:29

Equester

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Yup sehr gut. Geeignete Basis ist 6.

Wie siehts dann im Weiteren aus?

19.02.2012, 17:35

Tipso

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216^{1-2x}=36

$\begin{eqnarray*} log_6(216^{1-2x})=log_6(36) \end{eqnarray*}$

216 = 6^3
36 = 6^2

Dennoch weiß i gerade nicht weiter hmm

19.02.2012, 17:37

Equester

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Ja, das ist soweit richtig. Ersetze 216 durch 6³. Ersetze auch 36 durch 6² Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Schwierigkeit ist es natürlich 216 zu ersetzen. Mal sehen, ob du das richtig machst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Edit:
(Bin kurz essen).

19.02.2012, 17:42

Tipso

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$\begin{eqnarray*} log_6(216^{1-2x})=log_6(36) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6^3)^{1-2x} = 6^2 \end{eqnarray*}$

hmm

19.02.2012, 17:54

Equester

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Sehr gut. Ist zwar richtig. Aber ich glaub nicht ganz so wie du das wolltest Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} log_6((6^3)^{1-2x}) = log_6(6^2) \end{eqnarray*}$

So sollte es wohl aussehen. Wenn wir jetzt links das noch umschreiben, können wir...

19.02.2012, 18:06

Tipso

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$\begin{eqnarray*} log_6((6^3)^{1-2x}) = log_6(6^2) \end{eqnarray*}$

Achso : )

$\begin{eqnarray*} (1-2x) * log_6((6^3) = log_6(6^2) \end{eqnarray*}$

19.02.2012, 18:09

Equester

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Yup so kann mans machen Freude

Freude

Weiter

Augenzwinkern

19.02.2012, 18:13

Tipso

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$\begin{eqnarray*} (1-2x) * log_6((6^3) = log_6(6^2) \end{eqnarray*}$

(1-2x) * 6^3 = 6^2

1-2x = 6^2/6^3 / -1

- 2x = ( 6^2 /6^3) -1 / -2

x =( ( 6^2 / 6^3) - 1)/2

right ?

lg

19.02.2012, 18:14

Equester

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Nope! Was passiert bei $\begin{eqnarray*} log_a(a^x) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

19.02.2012, 18:17

Tipso

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$\begin{eqnarray*} (1-2x) * log_6((6^3) = log_6(6^2) \end{eqnarray*}$

(1-2x) * 3 = 2

(1-2x) = (2/3)

-2x = (2/3) -1

x= ((2/3)-1)/-2

x= 0,166666667

19.02.2012, 18:18

Equester

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Das bekommt ein

$\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

von mir smile

smile

.

19.02.2012, 18:19

Tipso

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Sehr gut. Thx Freude

Freude

Freude

smile

19.02.2012, 18:20

Equester

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Gerne

smile

Wink

1

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