Vollständige Induktion (Ungleichung mit Fakultät)

19.02.2012, 21:21

ome

Vollständige Induktion (Ungleichung mit Fakultät)

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich lerne für meine Analysis I Klausur, habe V.Induktion soweit sehr gut verstanden.
Nur wenn es Ungleichung kommt hack ich dran, schaffe es meistens auch aber leider nur im endlichen Zeit was für die Klausur zu lange wäre.

Hier ist die Aufgabe zb.:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} IA: n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}^{1} = \frac{1}{3} \leq \frac{1}{3}\cdot 1! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS: n = n + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1} = \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n}\cdot \left(\frac{n+1}{3}\right) \leq \frac{1}{3}\cdot n! \cdot \left(\frac{n+1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

soweit alles klar, aber nun soll ja die Binomische Lehrsatz her was es besagt, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist.

Geht das ganze auch etwas anders?

Vielen Dank soweit

19.02.2012, 22:05

SusiQuad

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Die Aussage $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist falsch, wie Du durch einsetzen von ein paar n überzeugen kannst. Es gilt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .
Zweitens ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \neq \left( \frac{n}{3}\right )^{n} \end{eqnarray*}$ .

19.02.2012, 22:15

ome

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mhhh mir ist grade folgendes im Sinne gekommen:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3}\right)^{n+1} = \left(\frac{n}{3}\right)^{n} \cdot \left(\frac{n}{3}\right)\leq \frac{1}{3}\cdot n! \cdot \left(\frac{n+1}{3}\right) \end{eqnarray*}$

soweit hatte ich ja, nun kann ich hin und rück wie folgt zeigen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot n! \cdot \left(\frac{n+1}{3}\right)=\frac{n!\left(n+1\right)}{9}=\frac{\left(n+1\right)!}{9}=\frac{1}{9}\left(n+1\right)!=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\cdot n!\cdot \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

nun das ganze war der linke teil... und der Rechte mit $\begin{eqnarray*} n=n+1 \end{eqnarray*}$ ist ja

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{3} \left(n+1\right)! = \frac{1}{3}\cdot n!\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

dabei sieht man ja, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot n! \cdot \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot n!\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$ ist.

Nun ist es hiermit gezeigt?

19.02.2012, 22:17

ome

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Zitat:

Original von SusiQuad
Die Aussage $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist falsch, wie Du durch einsetzen von ein paar n überzeugen kannst. Es gilt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .
Zweitens ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3}^{n} \neq \left( \frac{n}{3}\right )^{n} \end{eqnarray*}$ .

ah entschuldige die Aufgabe ist ja auch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3}\right)^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$ mir sind die Klammern abhanden gekommen unglücklich

19.02.2012, 23:05

SusiQuad

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n {\color{red}+1} }{3}\right)^{n+1} = \cdots \end{eqnarray*}$ ,falls das ein Induktionsschritt werden sollte ?!

19.02.2012, 23:31

ome

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Zitat:

Original von SusiQuad
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n {\color{red}+1} }{3}\right)^{n+1} = \cdots \end{eqnarray*}$ ,falls das ein Induktionsschritt werden sollte ?!

ja ... aber nach $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1} = \left(\frac{n+1}{3} \right)^n \left(\frac{n+1}{3} \right) \leq ... \end{eqnarray*}$ stimmts wieder... steht ja auch im ersten Beitrag. Da habe ich ja nur die IV angewendet.

19.02.2012, 23:50

SusiQuad

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Zitat:

stimmts wieder...

Nö.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n{\color{red}+1}}{3}\right)^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$ ist als (IV) nicht nutzbar. - Und stimmt für $\begin{eqnarray*} n~=1 \end{eqnarray*}$ auch nicht.
Nutzbar wäre : $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3}\right)^{n} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 00:05

ome

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stehe ich jetzt auf dem Schlauch?

IS:
$\begin{eqnarray*} n = n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1} = \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n} \cdot \left(\frac{n+1}{3} \right) \leq \frac{1}{3} \cdot n! \left(\frac{n+1}{3} \right) \end{eqnarray*}$

und genau hier habe ich doch die IV eingesetzt welches

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3} \right)^{n} \leq \frac{1}{3} \cdot n! \end{eqnarray*}$

ist, oder ist das schon falsch?

ich habe doch für $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ quasi $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot n! \end{eqnarray*}$ eingesetzt damit habe ich doch die Ungleichung beibehalten.

20.02.2012, 00:13

SusiQuad

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Nein. Lies Dir 23:50 nochmal durch. Der Hinweis mit n=1 besagt, dass Du die Ungleichung NICHT beibehälst.

20.02.2012, 00:24

ome

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aso willst mit dem Hinweis andeuten, dass es wegen +1 ich garnicht den IV anwenden kann?

Ansonsten würdest du bitte den Anfang machen?

Danke

20.02.2012, 02:50

ome

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Ein Lösungsweg wäre ja wohl so:

IS:
$\begin{eqnarray*} n = n+1 \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar wie ich von rot zu blau komme...

$\begin{eqnarray*} \color{red}\left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1}= \color{blue}\frac{1}{3} \cdot \frac{\left(n+1\right)^{n} }{n^n} \cdot \frac{n^{n}}{3^{n}} \cdot \left(n+1\right) \color{black}= \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{n} +1 \right)^n \cdot \left(\frac{n}{3} \right)^n \cdot \left(n+1\right) = \frac{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n }{3} \cdot \left(\frac{n}{3} \right)^n \cdot \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

nun wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n }{3} \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus der IV

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1} \leq \frac{1}{3}\cdot n! \cdot\left(n+1\right) = \frac{1}{3}\cdot \left(n+1\right)! \end{eqnarray*}$

Also bleibt noch zu zeigen: für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+\frac{1}{n} \right)^n }{3} \leq 1 \end{eqnarray*}$

und das umgeformt/umgestellt ist äquivalent zu:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \leq 3 \end{eqnarray*}$

Reicht es schon bis hierhin? Weil man sieht ja schon, dass es stimmt.

Ich würde gerne wissen ob man es auch anders lösen könnte, dabei habe ich ja auch versucht wie im vorigen Beiträge es zu lösen, aber da ist eben die +1 nciht beachtet habe hat es gescheitert.

Nun kann man ja auch alles wie folgt schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot n! \geq \left(\frac{n}{3} \right)^{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

dann Wäre,
IS:
$\begin{eqnarray*} n = n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot \left(n+1\right)! = \frac{1}{3}\cdot n! \cdot \left(n+1\right) \geq \left(\frac{n}{3} \right)^{n} \cdot \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

wie müsste ich dieses nun umformen?

Danke

20.02.2012, 05:34

SusiQuad

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RE: Vollständige Induktion (Ungleichung mit Fakultät)
Von Rot zu Blau kommt man, indem Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ erweitert werden ...

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3} \right)^{n+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^n} \cdot \left(n+1\right)^n \cdot \left(n+1\right) \cdot \frac{n^n}{n^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(n+1\right)^{n} }{n^n} \cdot \frac{n^{n}}{3^{n}} \cdot \left(n+1\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{n} +1 \right)^n \cdot \left(\frac{n}{3} \right)^n \cdot \left(n+1\right) \end{eqnarray*}$

Damit verlagert sich der Knackpunkt auf dem Nachweis $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \leq 3 \end{eqnarray*}$ .
Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n = e \leq 3 \end{eqnarray*}$ Euler-Konstante.

Viel einfacher wird es nicht.

20.02.2012, 11:40

ome

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RE: Vollständige Induktion (Ungleichung mit Fakultät)
Herzlichen Dank soweit.

Also ist es noch nötig den Limes zu zeigen?

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