Quadratische Regression

20.02.2012, 01:33

Nitscho

Quadratische Regression

Meine Frage:
Gutn taaag, und zwar hab ich folgendes Problem:
Ich soll eine Regressionsparabel aufstellen mit den Messdaten:
x 0 1 2
y 3,25 6,50 13

in der Form: y = a + bx²

ich komm einfach nich drauf wie ich das anstell unglücklich

Danke!

Meine Ideen:
Hab zwar scho was gelesen mit kleinste Fehlerquadrate, und mitm Taschenrechner kann ich das irgendwie nich rechnen - (nimmt nur standart quadratische gleichungen der Form ax²+bx+c an) ...
Muss es also von hand rechnen aber weiß nich wie unglücklich

20.02.2012, 02:02

Helferlein

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Minimiere $\begin{eqnarray*} f(a,b)=\sum_{k=1}^3(a+bx_i^2-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 02:51

Nitscho

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Ja und was muss ich dann mit der summe machen?! Hab ich ja immernoch kein a oder b.. unglücklich

20.02.2012, 03:51

Dopap

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kommt später.

setze die partiellen Ableitungen von f(a,b)=0.

20.02.2012, 04:12

Kasen75

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Da du die von Helferlein erwähnte Funktion Minimieren musst, musst die Funktion jeweils nach a und b ableiten und jeweils 0 setzen.

Es entsteht ein Gleichungssystem (GLS) mit 2 Unbekannten (a, b) und 2 Gleichungen. Das kann man lösen. Relativ kompliziert. Deshalb habe ich die Formeln als Bild angehängt, wobei hier a = b0 und b =b1 ist. In deinem Beispiel ist n = 3. Fang am Besten erst mal an

$\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar y \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Das sind jeweils die arithmetischen Mittel der x-Werte und y-Werte.

Damit du die Formeln in ihrer Anwendbarkeit besser nachvollziehen zu können zeige ich dir explezit was man für
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^3 x_i^{2} \end{eqnarray*}$
rechnen muss:
$\begin{eqnarray*} 0^{2}+ 1^{2}+ 2^{2}=5 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du kommst mit den Formeln zurecht. Melde dich auf jeden Fall noch mal, unabhängig, ob du ein Ergebnis hast oder nicht.

Mit freundlichen Grüßen

20.02.2012, 04:39

Kasen75

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Hallo,

ich habe noch mal die Formel in Latex reingeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \beta_1=\frac{\frac{1}{3}\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{\frac{1}{3}\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)^2}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta_0=\bar y-\beta_1\bar x \end{eqnarray*}$

Bei dir ist ja n=3.

Bis dann Wink

20.02.2012, 16:09

Nitscho

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okay....jetzt bin ich völlg plem plem und raff gar nix mehr Big Laugh

.... bin echt sehr dankbar für die hilfe, aber irgendwie krieg ichs nich gebacken....... wär echt super super geil wenn jemand von euch 2 zeit hätte un des mal mit mir durchrechnen könnt, speziell für die werte die ich hab. Weil ich steig irgendwie echt nemme durch wie davon ich jetzt genau a berechne und wie b... unglücklich

20.02.2012, 16:15

Nitscho

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Zitat:

Original von Kasen75
Da du die von Helferlein erwähnte Funktion Minimieren musst, musst die Funktion jeweils nach a und b ableiten und jeweils 0 setzen.

Es entsteht ein Gleichungssystem (GLS) mit 2 Unbekannten (a, b) und 2 Gleichungen. Das kann man lösen. Relativ kompliziert. Deshalb habe ich die Formeln als Bild angehängt, wobei hier a = b0 und b =b1 ist. In deinem Beispiel ist n = 3. Fang am Besten erst mal an

$\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar y \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Das sind jeweils die arithmetischen Mittel der x-Werte und y-Werte.

Damit du die Formeln in ihrer Anwendbarkeit besser nachvollziehen zu können zeige ich dir explezit was man für
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^3 x_i^{2} \end{eqnarray*}$
rechnen muss:
$\begin{eqnarray*} 0^{2}+ 1^{2}+ 2^{2}=5 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du kommst mit den Formeln zurecht. Melde dich auf jeden Fall noch mal, unabhängig, ob du ein Ergebnis hast oder nicht.

Mit freundlichen Grüßen

Muss ich da nich wenn ichn mittelwert ausrechne: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^3 x_i^{2} \end{eqnarray*}$ / n

also in dem fall /3 teilen?
und bei $\begin{eqnarray*} \bar y \end{eqnarray*}$ alle y-werte quadratisch addieren un dann durch 3 teilen? Grüße...

20.02.2012, 19:01

Kasen75

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Nein. Den Mittelwert für y rechnet man immer so aus, dass man die y-Werte summiert und dann durch n (bei dir n=3) teilt.

Den Mittelwert für x rechnet man immer so aus, dass man die x-Werte summiert und dann durch n (bei dir n=3) teilt.

Beispiel:
i 1 2 3 4 5
x 1 2 3 4 5
y 1 1 2 3 3

hier ist n=5. Es ist Zufall, das die Werte von x mit dem Index i übereinstimmen.

x(quer): = (1+2+3+4+5)/5=3
y(quer): = (1+1+2+3+3)/5=2

Wir rechnen jetzt von der angehängten Formel (für b1) Summe(xi*yi) aus.
Fangen wir mit i = 1 an. da ist x1=1 und y1=1. Das Produkt x1*y1 ist dann 1.
i = 2 x2=2 y2=1; Produkt = 2
i = 3 x3=3 y3=2; Produkt = 6
i = 4 x4=4 y4=3; Produkt = 12
i = 5 x5=5 y5=3; Produkt = 15
Jetzt bildet man die Summe, die ist dann: 1+2+6+12+15=36

Für n*x(quer)*y(quer) erhalten wir aus den Ergebnissen vom Anfang mit n=5:
5*3*2=30

Der Zähler ist dann Summe(xi*yi) - n*x(quer)*y(quer) = 36 - 30 =6

Der Nenner fängt mit dem Term Summe(xi^2) an.
i = 1 x1^2=1^2 =1
i = 2 x2^2=2^2 =4
i = 3 x3^2=3^2 =9
i = 4 x4^2=4^2=16
i = 5 x5^2=5^2=25
Bilden man die Summe: 1+4+9+16+25=55

Jetz noch den letzten Term: n*x(quer)^2:
5*(3^2)=45

Der Nenner ist dann: 55-45=10
Der ganze Bruch und damit b1 ist dann: 6:10 = 0,6

Die Formel für b0 ist ja : y(quer) - b1*x(quer) = 2-0,6*3=1-1,8=0,2
Die Regressionsgerade ist dann: yi=0,2 + 0,6xi

Fertig. Versuch es mal nach zu vollziehen und es auf dein Beispiel anzuwenden. Bei deinem Beispiel sind die Zahlen nicht so glatt. Also kein Problem, wenn du krumme Zahlen heraus bekommst. Schreib einfach mal, was du dann schon erreicht hast. Viel Glück.

Grüße

21.02.2012, 00:21

Nitscho

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Zitat:

Original von Kasen75
Nein. Den Mittelwert für y rechnet man immer so aus, dass man die y-Werte summiert und dann durch n (bei dir n=3) teilt.

Den Mittelwert für x rechnet man immer so aus, dass man die x-Werte summiert und dann durch n (bei dir n=3) teilt.

Beispiel:
i 1 2 3 4 5
x 1 2 3 4 5
y 1 1 2 3 3

hier ist n=5. Es ist Zufall, das die Werte von x mit dem Index i übereinstimmen.

x(quer): = (1+2+3+4+5)/5=3
y(quer): = (1+1+2+3+3)/5=2

Wir rechnen jetzt von der angehängten Formel (für b1) Summe(xi*yi) aus.
Fangen wir mit i = 1 an. da ist x1=1 und y1=1. Das Produkt x1*y1 ist dann 1.
i = 2 x2=2 y2=1; Produkt = 2
i = 3 x3=3 y3=2; Produkt = 6
i = 4 x4=4 y4=3; Produkt = 12
i = 5 x5=5 y5=3; Produkt = 15
Jetzt bildet man die Summe, die ist dann: 1+2+6+12+15=36

Für n*x(quer)*y(quer) erhalten wir aus den Ergebnissen vom Anfang mit n=5:
5*3*2=30

Der Zähler ist dann Summe(xi*yi) - n*x(quer)*y(quer) = 36 - 30 =6

Der Nenner fängt mit dem Term Summe(xi^2) an.
i = 1 x1^2=1^2 =1
i = 2 x2^2=2^2 =4
i = 3 x3^2=3^2 =9
i = 4 x4^2=4^2=16
i = 5 x5^2=5^2=25
Bilden man die Summe: 1+4+9+16+25=55

Jetz noch den letzten Term: n*x(quer)^2:
5*(3^2)=45

Der Nenner ist dann: 55-45=10
Der ganze Bruch und damit b1 ist dann: 6:10 = 0,6

Die Formel für b0 ist ja : y(quer) - b1*x(quer) = 2-0,6*3=1-1,8=0,2
Die Regressionsgerade ist dann: yi=0,2 + 0,6xi

Fertig. Versuch es mal nach zu vollziehen und es auf dein Beispiel anzuwenden. Bei deinem Beispiel sind die Zahlen nicht so glatt. Also kein Problem, wenn du krumme Zahlen heraus bekommst. Schreib einfach mal, was du dann schon erreicht hast. Viel Glück.

Grüße

Hammer erklärung! Alles kappiert. Nur weiß ich net wie genau ich das jetzt umrechne für ne regressionsparabel (ax² + c ; also ohne bx) .... was genau muss ich dann bei der rechnung anpassen um die quadratische funktion zu erhalten, oder seh ich grad nur den wald vor lauter bäumen nicht? Big Laugh

21.02.2012, 12:43

Nitscho

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

ich habe noch mal die Formel in Latex reingeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \beta_1=\frac{\frac{1}{3}\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)(y_i-\bar y) }{\frac{1}{3}\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)^2}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum\limits_{i=1}^3 (x_i-\bar x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta_0=\bar y-\beta_1\bar x \end{eqnarray*}$

Bei dir ist ja n=3.

Bis dann Wink

ich habs jetzt mal so durchgerechnet (zuerst mit der allg.) mit den werten die ich oben angegeben hatte... komm da auf n wert von b = 15,4375 und a = -7,85416 ..... hab die originallösung (aber halt ohne lösungsweg) notiert mit a =3,625 und b = 2,375 ........ weiß nich was ich falsch gemacht hab... habs strikt mit der oberen Formel gerechnet unglücklich

nu au nomma mit der formel die hier steht berechnet..komm ich wieder auf andre werte unglücklich

( a =7,04 irgendwas und b = 0,54 ... ) weiß grad echt nichmehr weiter =/

23.02.2012, 14:58

Kasen75

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Hallo,
Ich bin von folgender Funktion ausgegangen: f(x) = ax^2+c. Also von einer quadratischen. Bei meinen letzten Posts bin ich von einer linearen ausgegangen. Ich die die kleine 2 einfach übersehen. Entschuldige mich vielmals und noch viel mehr.

Bei dir ist a = c und b = a. Musst du aber nur wegen den Ergebnissen am Ende berücksichtigen. Die Zahlenwerte der Lösung sind die, die du schon erwähnt hast.

Man muss ja Summe(i) [ax(i)^2+c-y(i)] ^2 minimieren, wie Helferlein schon geschrieben hat. Man kann es allgemein manchen (es kommt eine allgemeine Formel für den Fall f(x) = ax^2+c heraus), oder gleich die x und y - Werte einsetzten und dann im speziellen Fall a und c ausrechnen. Ich habe erst mal die Werte eingesetzt. Ich habe es jetzt im speziellen Fall gemacht, weil es einfacher zu rechnen ist. Jezt erst mal die drei Werte eingesetzt und aufsummiert. Durch deine vielfaltigen Rechnungen bei der linearen Regression bist du ja schon trainiert, wenn man es mal von der positiven Seite sieht.

X=0, y=3,25 : (c-3,25)^2 +
X=1, y=6,5 : (a+c-6,5)^2 +
X=2, y=13 : (4*a+c-13)^2 +

V = (c-3,25)^2 + (a+c-6,5)^2 + (4*a+c-13)^2 Diese Funktion nach a und c ableiten und jeweils Null setzen.

dV/da= 2*(a+c-6,5)+2*(4*a+c-13)*4 = 0

dV/db= 2(c-3,25)+2*(a+c-6,5)+2*(4a+c-13) = 0

Diese 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten kann man lösen, muss man aber nicht. Ich habe mal die beiden Lösungen (a =3,625 und b = 2,375) in die 1. und 2. Gleichung eingestzt und es kam auch Null heraus.
Ich hoffe du kannst damit etwas anfangen.

Mit freundlichen Grüßen

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