Konvergenz (nach Verteilung/ Wahrscheinlichkeit)

20.02.2012, 08:06

flo_fk

Konvergenz (nach Verteilung/ Wahrscheinlichkeit)

liebes forum,

ich bin auf der suche einer folge, für die gilt, dass sie sie nach verteilung gegen einen grenzwert geht, aber nicht nach wahrscheinlichkeit/ stochastisch.

also:

$\begin{eqnarray*} X_n \rightarrow X \end{eqnarray*}$ nach Verteilung, nicht nach wahrscheinlichkeit. die X_n sind reelle unabhängig und identisch verteile Zufallsvariablen.

Ich habe einen aufschrieb dazu gefunden, der scheinbar eine mögliche lösung ist, jedoch habe ich damit probleme. vielleicht kann mir jemand helfen den zu verstehen, oder eine alternative anbieten.

Es steht geschrieben:

X ist $\begin{eqnarray*} 0.5 \delta_0 + 0.5 \delta_1 \end{eqnarray*}$ -verteilt. $\begin{eqnarray*} X_n := 1-X \end{eqnarray*}$ und damit gelte $\begin{eqnarray*} X_n \rightarrow X \end{eqnarray*}$ nach Verteilung.
Und schließlich $\begin{eqnarray*} P( |X_n-X| > \epsilon) = P(1 > \epsilon) = 1 \end{eqnarray*}$ was dann bedeutet, dass keine konvergenz nach wahrscheinlichkeit vorliegt.

ich habe verstanden, dass hier keine konv. nach w-keit vorliegt, das ist ja recht offensichtlich.
mein problem besteht darin, zu sehen, dass eine konvergenz nach verteilung vorliegt. außerdem kann ich mit "
X ist $\begin{eqnarray*} 0.5 \delta_0 + 0.5 \delta_1 \end{eqnarray*}$ -verteilt" nichts anfangen. weiß jemand, was diese deltas sind, oder wie ich das verstehen kann?

mit freundlichen grüßen
flo

20.02.2012, 14:15

speedyschmidt

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Das heißt, dass P(X=0)=P(X=1)=0,5.

20.02.2012, 15:13

flo_fk

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alles klar, danke..
stimmt, das war wohl die schreibweise für dirac?!

20.02.2012, 15:39

speedyschmidt

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japp, genau smile

06.04.2012, 08:58

jojo10

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tut mir leid, wenn ich diesen thread auskrame, aber ich wollte nochmal nachhaken zu der frage.

der fragesteller schreibt ja,
$\begin{eqnarray*} P( |X_n-X| > \epsilon) = P(1 > \epsilon) = 1 \end{eqnarray*}$

müsste, damit das gilt, aber nicht
$\begin{eqnarray*} X_n := X-1 \end{eqnarray*}$
gelten? es wird ja gesagt, es gilt
$\begin{eqnarray*} X_n := 1-X \end{eqnarray*}$ .

bitte um antwort.

und dann noch was:
wie sehe ich hier so leicht, dass eine konvergenz in verteilung vorliegt?

mit freundlichen grüßen
jojo

06.04.2012, 12:04

speedyschmidt

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Es ist schon so richtig, wie es da steht. Schau Dir an, wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verteilt ist!

Zur Konvergenz in Verteilung: Die $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ haben alle die gleiche Verteilungsfunktion wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

06.04.2012, 13:32

jojo10

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cool, dass du gleich nochmals geantwortet hast.

ich kenn mich nicht soo gut aus vllt., kann gut sein, dass ich was mache, das nicht geht, aber wenn ich
X_n= 1- X lasse und X ersetze durch das wie es definiert ist, bekomme ich doch heraus:

X_n - X = 1 +2X,
also $\begin{eqnarray*} 1 - \delta_0 + \delta_1 \end{eqnarray*}$

und dann wird gesagt, dass P(|X_n-X|>...) = P(1>...) , aber warum steht dann da nicht P(|X_n-X|>...) = $\begin{eqnarray*} P(1 - \delta_0 + \delta_1 >...) \end{eqnarray*}$
versteht du, was ich meine?

oder kürzen sich die deltas irgendwie raus? ich weiß über die deltas, dass sie immer gleich 0 oder gleich 1 sind. delta_0 ist gleich 1, wenn 0 enthalten ist in einer menge A, delta_1 ist gleich 1, wenn 1 enthalten ist in einer menge A, ansonsten sind sie 0.

dann noch zur konvergenz in verteilung:
ist es so: weil ich jetzt X so verteilt habe, dass da immer 0, 0.5 oder 1 rauskommt und wenn ich 1 - das rechne, kommt auch immer nur 0, 0.5 oder 1 raus, dass die gleiche verteilung vorliegt?
also ich glaub ich versteh das n bisschen, danke dafür

07.04.2012, 18:35

speedyschmidt

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Wenn $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} X_n=0 \end{eqnarray*}$ , das erklärt die Gleichung vom Fragesteller.

Was Du machst, klappt so nicht, da Du nicht einfach die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch seine Verteilungsfunktion ersetzen kannst!

edit: Zur Konvergenz in Verteilung: da beachtest Du auch das, was ich gerade geschildert habe.

09.04.2012, 12:10

jojo10

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okay, danke, das bringt mich auf jeden fall schon ein stück weiter.
aber ich frage mich, ob nicht auch X = 0.5 sein kann, oder warum das nicht sein kann. du schreibst von X= 0 und X=1, das ist mich für logisch, dass die beiden dinge erfllt sein können, aber ich dachte auch, dass X=0.5 möglich ist, und dann wäre ja auch X_n=0.5 und es stünde nicht mehr P(1...), sondern P(0...) da.

heißen 2 dinge auch gleichverteilt, wenn die verteilungskurve gespiegelt ist? das ist es meines erachtens hier, also an 0.5 gespiegelt.

09.04.2012, 14:06

speedyschmidt

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RE: Konvergenz (nach Verteilung/ Wahrscheinlichkeit)

Zitat:

Original von flo_fk

Es steht geschrieben:

X ist $\begin{eqnarray*} 0.5 \delta_0 + 0.5 \delta_1 \end{eqnarray*}$ -verteilt.

Das heißt, dass $\begin{eqnarray*} P(X=0)=P(X=1)=0.5 \end{eqnarray*}$ gilt, wie oben schon erwähnt. Im Klartext heißt das, dass X nur auf P-Nullmengen andere Werte als 0 oder 1 annehmen kann, denn P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ muss demnach 1 sein und ist schon durch 0 und 1 ausgeschöpft. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit heißt das eben, dass $\begin{eqnarray*} P(|X-X_n|>\varepsilon)=P(\{\omega\in\Omega:|X(\omega)-X_n(\omega)|>\varepsilon\})=P(\{\omega\in\Omega:|X(\omega)-X_n(\omega)|>\varepsilon, X(\omega)\in\{0,1\}\}) \end{eqnarray*}$ gilt. Alle anderen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sind ja eh in einer Nullmenge und daher hier zu vernachlässigen.

Für die Verteilungsfunktion F von X heißt das nicht weiter, als dass F bei 0 und 1 Sprünge der Höhe 1/2 hat.

Deine Frage mit dem Spiegeln ist natürlich zu verneinen. Verteilungsfunktionen sind beliebige rechtsstetige, monoton wachsende Funktionen auf den reellen Zahlen mit Limes 0 bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und 1 bei $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ . Dass das duch Spiegeln, welcher Art auch immer, nicht erhalten bleibt, sollte klar sein.

09.04.2012, 14:58

jojo10

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ich habs jetzt tatsächlich verstanden. deine erklärung ist sehr gut und hat mich weitergebracht, vor allem auch, dass ich mal genauer hinschaue, ich hab das mit den ob ein P dabei steht vor dem X oder nur ein X irgendwie nicht so genau beachtet, was natürlich schlecht ist.
vielen dank für die hilfe und vor allem auch die geduld smile

09.04.2012, 23:48

speedyschmidt

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Null Problemo Wink

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