Cauchyprodukt

17.01.2007, 22:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyprodukt Hallo, ich muss gerade etwas mit dem Cauchyprodukt nachrechnen. Zuerst einmal: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-z)^2} \end{eqnarray}$ als Reihe darstellen. Also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{(1-z)} \cdot \frac{1}{(1-z)} = \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty z^k \cdot \sum_{k=0}^\infty z^k = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k z^{k-n}\cdot z^n = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot z^k \end{eqnarray}$ Das scheint auch bisher zu stimmen. Jetzt wird gesagt es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{2}{(1-z)^3} = \sum_{k=0}^\infty (k+1)(k+2)z^k \end{eqnarray}$ Wenn ich das ausrechne komme ich aber auf: $\begin{eqnarray} \frac{2}{(1-z)^3} = \frac{2}{1-z} \cdot \frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{k=0}^\infty 2\cdot z^k \cdot \sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k 2\cdot (k+1) z^k = \sum_{k=0}^\infty 2\cdot (k+1)^2 \cdot z^k \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler? Gruß kiste
17.01.2007, 22:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyprodukt Hier liegt der Fehler: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty 2\cdot z^k \cdot \sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k \stackrel{???}{=} \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k 2\cdot (k+1) z^k \end{eqnarray}$ Richtig ist an der Stelle $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty 2\cdot z^k \cdot \sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k 2\cdot (n+1) z^k \end{eqnarray}$
17.01.2007, 22:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
danke jetzt passt es hatte wohl ne Denkblockade weil ich dachte es geht analog zu oben
17.01.2007, 22:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht's ja auch - man darf nur nicht die Indizes verwechseln.
02.01.2011, 22:49	2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Thread ist zwar älter aber ich hab da verständnissprobleme. Bei: 1/(1-z)² die letzten beiden Schritte die fehlen mir irgendwie (vom ersten beitrag). Also beim Vorletzten, ist das nicht soetwas wie 3^4=3^(4-2) *3^2? und bei der letzten umformung da versteh ich nciht wirklich was. Wäre dankbar wenn mir jemand im Kampf gegen meine unwissenheit hilft
02.01.2011, 23:12	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine ganz simple Anwendung des Multiplikationssatzes für unendliche Reihen. (Cauchyprodukt) Den sollte man schon kennen und dann gibt's da eigentlich nichts mehr zu erklären.
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02.01.2011, 23:22	2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^k z^{k-n}\cdot z^n = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot z^k \end{eqnarray}$ das folgt aus dem Cauchyprodukt?
02.01.2011, 23:30	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, da geht's dann nur noch um ganz elementare Rechenregeln. Das Rechnen mit Potenzen und auch das Distributivgesetz sollte doch wohl klar sein.

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