Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

20.02.2012, 10:28

Sternchen12

Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

Meine Frage:
Hallo ihr freundlichen Helfer,
mein Problem ist folgendes:

Zu Beginn des Jahres 1990 hatte Mexiko 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000 waren es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.

a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den Zeitschritten 1;5 bzw. 10 Jahre.

Ich verstehe nicht, wie ich die weiteren Wachstumskonstanten berechnen soll.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist folgender:

f(t)= c*e^k*t

<=> 100,4=84,4*e^k*10 |:84,4
<=> 100,4/84,4 = e^k*10 |ln
<=> 0,17359 = 10k |:10
<=> 0,01736 = k

Das heißt: Ich habe einen Wachstumsfaktor von 0,01736 im Jahr 2000 (10 Jahre) oder?

Nun verstehe ich einfach nicht, wie ich zu den Ergebnissen für Zeitschritt 1 und 5 gelangen soll. Mir ist bewusst, das man im Internet bereits einige Ansätze findet, jedoch helfen mir diese nicht weiter.

Danke im vorraus für eure Hilfe.

20.02.2012, 10:57

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

Zitat:

Original von Sternchen12
<=> 0,17359 = 10k |:10
<=> 0,01736 = k

Das heißt: Ich habe einen Wachstumsfaktor von 0,01736 im Jahr 2000 (10 Jahre) oder?

Nein, denn k steht bei Dir ja für ein Jahr. Du hast also jetzt bereits den Zeitschritt 10 Jahre (obere Zeile) und ein Jahr (untere Zeile). Fünf Jahre ist dann nicht mehr schwer.

Viele Grüße
Steffen

20.02.2012, 11:00

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Bevölerungszunahme $\begin{eqnarray*} y(t)=C\cdot e^{\lambda\cdot t} \end{eqnarray*}$ mit den noch unbekannten Konstanten $\begin{eqnarray*} c,\lambda \end{eqnarray*}$ zu finden setze die beiden gegebenen Wertepaare ein. So erhältst du folgendes Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} c,\lambda \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y_1=C\cdot e^{\lambda\cdot t _1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=C\cdot e^{\lambda\cdot t_2} \end{eqnarray*}$

Division beider Gleichungen liefert $\begin{eqnarray*} \tfrac{y_1}{y_2}=e^{e^{\lambda\cdot (t_1-t_2)}} \end{eqnarray*}$ . Durch Umstellen bekommst du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Setze dieses $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ dann in eine der obigen Gleichungen ein und stelle nach C um. Wenn $\begin{eqnarray*} c,\lambda \end{eqnarray*}$ bekannt sind, hast du die Formel $\begin{eqnarray*} y(t)=C\cdot e^{\lambda\cdot t} \end{eqnarray*}$ und kannst zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Bevölkerung in Mexiko ausrechnen. Dieses Modell ist natürlich sehr grob und deshalb fragwürdig.

20.02.2012, 11:08

Sternchen12

Auf diesen Beitrag antworten »

...
Das heißt wenn ich die Wachstumskonstante für fünf Jahre berechnen möchte, muss ich nur noch 0,01736 * 5 = 0,0868 rechnen? Hammer

@Ehos, nun bin ich ein bisschen verwirrt. Heißt es, dass ich deiner Ansicht nach noch nicht den richtigen Weg gehe?

20.02.2012, 11:38

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur kritisch anmerken, dass dieses Modell mit seinem einfachen exponenziellen Wachtum ziemlich unrealistisch ist. In der Realität gibt es viele Nebenbedingungen, welche von diesem Modell abweichen (z.B. "Futterknappheit", Kriege, Seuchen usw. welche sogar zum Schrupfen der Bevölkerung führen können)

Wenn man aber dieses einfache Modell annimmt, sollte man zuerst die Formel $\begin{eqnarray*} y(t)=C\cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$ berechnen. Damit kann man die Bevölkerung Mexikos (im Rahmens dieses Modells) für alle Zeitpunkte angegeben und Wachstumskonstanten berechnen.

20.02.2012, 11:44

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Re: ...

Zitat:

Original von Sternchen12
Das heißt wenn ich die Wachstumskonstante für fünf Jahre berechnen möchte, muss ich nur noch 0,01736 * 5 = 0,0868 rechnen?

Ja, denn

$\begin{eqnarray*} 84,4 \cdot (e^{0,01736})^{10} = 100,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 84,4 \cdot (e^{0,0868})^2 = 100,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 84,4 \cdot e^{0,1736} = 100,4 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

20.02.2012, 11:53

Sternchen12

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, so macht Mathe spaß. :P

Ich bin nun mittlerweile bei d) angelangt, wo ich folgendes berechnen soll:

Wann wird Mexiko doppelt so viele Einwohner wie Deutschland haben?

gegeben: Jahr 1990: 79,4 Mio. ; 2000: 82,8 Mio Einwohner (Deutschland)

Mein Ansatz lautet wie folgt:

Ich gehe um die Wachstumskonstante für Deutschland zu berechnen genauso wie bei a) vor, sodass ich für ein Jahr 0.004193 erhalte.

Kann ich nicht die beiden Funktionen gleichsetzen und nach t auflösen? Wie baue ich jedoch ein, dass Mexiko doppelt so viele Einwohner haben soll?

M(t)= 84,4*e^0,01736*t
D(t)= 79,4*e^0,004193*t

d.h: M(t)*2=D(t)

Ich hoffe das ist nachvollziehbar und tausend dank!

20.02.2012, 11:59

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sternchen12
Kann ich nicht die beiden Funktionen gleichsetzen und nach t auflösen? Wie baue ich jedoch ein, dass Mexiko doppelt so viele Einwohner haben soll?

M(t)= 84,4*e^0,01736*t
D(t)= 79,4*e^0,004193*t

d.h: M(t)*2=D(t)

Umgekehrt. Mexiko soll 2*Deutschland sein, also M(t) = 84,4*e^0,01736*t = 2*D(t) = 2*79,4*e^0,004193*t.

Ansonsten paßt's, einfach auflösen.

Viele Grüße
Steffen

Neue Frage »

Antworten »

Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

Verwandte Themen