gleichmäßige konvergenz

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fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige konvergenz
Meine Frage:
hey, untersuche folgende funktionenfolgen im intervall auf gleichmäßige konvergenz:

a)

b)


Meine Ideen:
hmm ich weiß da gar nicht wie ich anfangen kann, weil ich doch keine grenzfunktion f bzw f' habe?!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Man kann sich ja erts einmal ein paar Funktionen der Folge anschauen:



Das legt die Vermutung nahe, dass die Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Zitat:
Original von fleurita
hmm ich weiß da gar nicht wie ich anfangen kann, weil ich doch keine grenzfunktion f bzw f' habe?!

Die sollst du dir ja zunächst mal überlegen. Der cos ist beschränkt, was mag da denn passieren, wenn n gegen unendlich läuft?

Edit: Und ich bin raus.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
danke für eure tipps. Heißt das, dass ich die grenzfunktion immer dadurch bestimme, in dem ich bestimme?


dazu steht leider nix im skript und auch nicht bei wiki smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Jap.

Edit:
Zitat:
Original von fleurita


dazu steht leider nix im skript und auch nicht bei wiki smile



verwirrt Habe gerade mal bei Wiki geschaut:

Zitat:

Zitat:
Wikipedia
Für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge , die gegen f strebt, wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendet[1][2]

,

oder

,

oder

fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
uuups ich hatte mir nur die definition bei wiki angeguckt, gar nicht weiter smile

gut, dann

a)

gut, es scheint 2 definitionen für gleichmäßige konvergenz zu geben, ich nimm mal die eine weil ich die andere nicht so wirklich blick:




stimmt das so?

hmmm mir ist dann nur noch nicht klar was es mit dem intervall auf sich hat.
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Abschätzung durch Epsilon n_0 kann man noch machen bzw. dazu schreiben.

Das Intervall ist der Def Bereich des Cosinus (kann auch sein)

Die beiden Definitionen sind äquivalent zueinander, wie man leicht durch die Definition des lim sup einsehen kann.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
danke smile




Kann ich dann immer die definition nehmen die ich jetzt auch genommen habe? Oder ist es so wie z.b. bei der konvergenz von reihen, wo mal das quotientenkriterium klappt und ein anderes mal das wurzelkriterium?


für die a) könnt der definitionsbereich auch sein oder, weil mein beweis dann genau so funktioniert?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Zitat:
Original von lgrizu
Die beiden Definitionen sind äquivalent zueinander, wie man leicht durch die Definition des lim sup einsehen kann.


Und bei Reihen: Wenn das Quotientenkriterium versagt, dann versagt i.a. auch das Wurzelkriterium und andersherum, da diese beiden aus dem Verglecih mit der geometrichen Reihe entstehen.

Also schlechtes Beispiel.

Dazu handelt es sich bei gleichmäßiger Konvergenz um eine Definition, und nicht um ein Kriterium.....
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
gut danke, mir ist eben auf die schnelle kein besserer vergleich eingefallen :-)

zu der a) hab ich noch eine letzte frage: da könnte der definitionsbereich auch sein oder, weil mein beweis dann genau so funktioniert. Oder?


dann noch die b) .... besitzt kein grenzwert, also grenzfunktion.

Damit erübrigt sich der bewei nach gleichmäßiger konvergenz, oder?


smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Scahu dir doch mal die Funktionenfolge auf ganz IR an, das sollte die Frage beantworten:

Wir wählen einmal exemplarisch n=1, n=5 n=10 und n=100 und betrachten das Intervall [-50,50]:



Zur zwieten Aufgabe:

Das ist richtig, man kann auch kein "starkes" Kriterium formulieren, in Bezug auf die Konvergenz der Ableitung, bei Stetigkeit sieht das anders aus.

Edit: Auch hier kann man sich zuerst mal einige Funktionen der Folge anschauen:


fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
wenn ich mir das so anseh wird mir klar, dass ich gar nicht weiß, was gleichmäßige konvergenz anschaulich bedeutet.... böse



ps: danke für deine schönen schaubilder, ich hoffe ich kann aus denen glecih was raus lesen mit deiner hilfe
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Das wird in den beiden Plots aber eigentlich ganz schön dargestellt.

Bei der ersten Funktion gehen die Extrempunkte immmer näher an die Nulllinie, also Richtung x-Achse, der "Ausschlag" wird immer kleiner und sie nähern sich der x-Achse an.

Bei der zweiten Funktion bleien die Ausschläge gleich, aber es gibt immer mehr von ihnen auf dem betrachteten Intervall.

Mir fällt jetzt spontan keine Folge ein, die nicht unbedingt gegen die Nullfunktion konvergiert.


Wir können uns ja mal folgende Funktion anschauen:



Wenn du dir mal einige Funktionen der Folge naschaust, was meinst du erts mal Intuituv, Konvergent oder nicht? Gleichmäßig oder "nur" Punktweise?
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
achsooo so ist das gemeint.

hmmm also ich würde jetzt spontan sagen nachdem ich ein paar schaubilder angeschaut habe gleichmäßig konvergent auf dem intervall [0, unendlich] gegen f=0


ich weiß nicht was punktweise konvergenz anschaulich bedeutet.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Da ist dann aber einige aufzuholen Augenzwinkern

Also Punktweise Konvergenz ist die Konvergenz bei festem x.

Betrachten wir doch zunächst einmal die punktweise Konvergenz.

Ist x=0, so ist . Sei nun x>0 fest, dann ist mit (beachte: x ist fest).

Für x<0 ist die Folge nicht punktweise konvergent.

Nun betrachten wir die gleichmäßige Konvergenz:

Wenn die Funktion gleichmäßig konvergiert, dann gegen die Nullfunktion, wir betarchten also

für .

Nun können wir diesen Abstand abschätzen, wie macht man das? Richtig, Kurvendiskussion:




Wir erhalten also ein Maximum bei

An dieser Stelle ist der Abstand aber:

.

Damit ist die Funktion nicht gleichmäßig Konvergent gegen f=0.

Für x<0 sowieso nicht.


Jetzt wissen wir, dass die Funktion stets ein Maximum bei 1/n hat und an diesem maximum den Funktionswert 1/e annimmt.

Wir schauen uns das ganze noch mal grafisch an:




Wir sehen hier, das Maximum "wandert" nicht herunter, sondern nur nach links.

Edit: Man könnte aber intuitiv tatsächlich meinen, dass die Folge gleichmäßig konvergiert, besonders, wenn man n groß genug wählt und im Plotter dann die Einheiten auf der x-Achse zu klein:



Aber wenn man das geschickt wählt sieht man:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Achso, analog kann man auch bei den Betrag abschätzen:



Wir vernachlässugen erst mal den Betrag und betrachten nur die Extremstellen, diese sind bei .

Nun ist und .

Mit erhalten wir hier, dass sich alle Funktionswerte (im besonderen die Extremstellen) der x-Achse annähern.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
sry lgrizu, ich hab noch nicht die richtige zeit gefunden, mich mit deiner bestimmt tollen antwort zu befassen. Spätestens freitag komm ich aber auf diesen forumsstrang zurück.

Nicht dass du denkst du hast das hier um sonst gemacht smile
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Das ist echt toll, viel viel mühe du dir gemacht hast smile
Hab jetz endlich die zeit gefunden es anzugucken.

Aber wie ist das wenn ich es mit de l'hospital mache?

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Edit: Blödsinn wegeditiert.....

Die Funktionenfolge konvergiert auch, aber halt nicht gleichmäßig.

Gleichmäßige Konvergenz ist mit l Hospital auch nicht zu zeigen, wenn man nach n differenziert setzt man x ja als Konstnte vorraus.

Punktweise konvergenz ist die Konvergenz der Funktion für ein festes aber beliebiges x, gleichmäßige Konvergenz ist die Konvergenz der Funktion als ganzes.
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
ich dachte ich hätte nur nach n abgeleitet. Okay gut.

In unserem skript steht noch folgendes: auf :

Lösung: für .

Hier wurde gar keine grenzfunktion f bestimmt verwirrt . Und was gleichmäßige konvergenz mitt norm zu hat weiß ich nicht...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Zitat:
Original von fleurita
ich dachte ich hätte nur nach n abgeleitet. Okay gut..


Hab ich irgendwie falsch gesehen, ist schon okay, ich habe es auch editiert.


Zitat:
Original von fleurita
In unserem skript steht noch folgendes: auf :

Lösung: für .

Hier wurde gar keine grenzfunktion f bestimmt verwirrt . Und was gleichmäßige konvergenz mitt norm zu hat weiß ich nicht...


Hier wurde die Supremumsnorm verwendet, das ist in Kurzform also das, was ich oben bereits geschrieben habe, abschätzen des Abstandes über das Supremum:

Zitat:

Achso, analog kann man auch bei den Betrag abschätzen:



Wir vernachlässugen erst mal den Betrag und betrachten nur die Extremstellen, diese sind bei .

Nun ist und .

Mit erhalten wir hier, dass sich alle Funktionswerte (im besonderen die Extremstellen) der x-Achse annähern.



Edit: Ist dein Avatar eigentlich ein Bild von dir?
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Zitat:
Original von lgrizu
Hier wurde die Supremumsnorm verwendet, das ist in Kurzform also das, was ich oben bereits geschrieben habe, abschätzen des Abstandes über das Supremum:


Aah okay, danke! Es ist immer blöd, wenn man bei themen, die so ganz neu oder ungewohnt für einen sind krank im bett lag anstatt im hörsaal saß :-( smile

Ich guck mir das mit der norm noch mal genau an heut morgen und falls da noch was unklar ist (ich hoff nicht!!!) meld ich mich nochmal

Vielen lieben dank schonmal smile

ps: das bild ist keins von mir, obwohl die haarfarbe und die haarlänge zur zeit fast stimmen^^. Aber ein foto von mir würd ich nie einem öffentlichen netzwerk rein stellen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
Wenn Fragen da sind gerne wieder....
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
schon hab ich wieder eine frage smile

Zitat:
Original von fleurita
In unserem skript steht noch folgendes: auf

Lösung: für .



Müsste es nicht eher .

heißen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige konvergenz
f ist die Nullfunktion, also kann man das getrost weglassen.

Und ist Äquivalenmt zu für .

Das sind zwei verschiedene Schreibweisen für den Grenzwert.

In dem Script wird zuerst das Sup bestimmt und der Grenzwert durch den Pfeil gekennzeichnet, das ist durchaus üblich in der Notation.

Setzt man lim davor, so muss man ein Gleichheitszeichen setzen.
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