Gleichungssystem - wie viele Gleichungen?

20.02.2012, 14:41

Fragesteller01

Gleichungssystem - wie viele Gleichungen?

Meine Frage:
Ich habe eine unbekannte ganzrationale Funktion 5. Grades. Es handelt sich um eine Steckbriefaufgabe und ich muss diese Funktion 5. Grades bestimmen, anhand von Fakten über diese Funktion, die im Text genannt werden. Solche Fakten sind z. B. :" die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch den Punkt P (1/-2) etc...)

Nun habe ich 3 Gleichungen aufgestellt und frage mich, wie viele Gleichungen benötige ich, um die eigentliche Funktionsgleichung über das lineare Gleichungssystem aufzustellen?

Meine Ideen:
Keine richtige Idee, woran man das erkennt. Vielleicht an dem höchsten Exponenten. Dann währe die Antwort 5 Gleichungen.

20.02.2012, 14:47

klarsoweit

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RE: Gleichungssystem - wie viele Gleichungen?
Welchen Ansatz hast du denn für deine Funktion gewählt? Aus der Anzahl der Koeffizienten folgt die Anzahl der benötigten Gleichungen.

20.02.2012, 14:48

lgrizu

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RE: Gleichungssystem - wie viele Gleichungen?
Man erkennt es am höchsten Exponenten, aber beim Grad 5 hat man 6 Unbekannte:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Aufgabe reichen jedoch tatsächlich drei Bedingungen, da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Wie schaut eine solche Funktion in allgemeiner Form aus?

20.02.2012, 15:33

Fragesteller01

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Das hat mir soweit schon einmal geholfen.

Mal die genaue Aufgabe:
Eine ganzrationale Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung; sie verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P (1/-2) \end{eqnarray*}$ und hat im Punkt $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{2}/-\sqrt{8}) \end{eqnarray*}$ eine horizontale Tangente.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f!

Also an Bedingungen habe ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \! f(x)\ = ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \! f'(x)\ = 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3cx^{2} + 2dx + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \! f''(x)\ = 20ax^{3} + 12bx^{2} + 6cx + 2d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x) = -f(x) \end{eqnarray*}$

Meine Gleichungen die ich bisher habe sind:
$\begin{eqnarray*} -2=a1+b1+c1+d1+e1+f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} =a(\sqrt{2})^5 + b(\sqrt{2})^4 + c(\sqrt{2})^3 + d(\sqrt{2})^2 + e(\sqrt{2}) + f \end{eqnarray*}$
Hierbei habe ich Angst mit den Dezimalzahlen zu rechnen, weil ich befürchte, dass das Ergebnis hinterher zu ungenau sein wird. Daher habe ich die Wurzelzahlen 1 zu 1 übernommen. Da allerdings aus jeder Wurzel zwei Ergebnisse kommen (z. B. Wurzel aus 2 = +- 1,414) habe ich im Grunde genommen 3 Gleichungen aufgestellt, auch wenn da jetzt nur zwei stehen. Die Bedingung für die Punktsymmetrie habe ich aufgelistet, aber was die mir jetzt genau bringt, weiß ich leider noch nicht so ganz genau. Muss ich da einfach eine der oben genannten Gleichung in f(-x) oder in -f(x) umformen, um so eine weitere oder zwei weitere Gleichungen zu erhalten?

20.02.2012, 15:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fragesteller01
Also an Bedingungen habe ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \! f(x)\ = ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f \end{eqnarray*}$

Da deine Funktion punktsymmetrisch ist, kannst du einen vereinfachten Ansatz wählen, indem du b=d=f=0 setzt. Augenzwinkern

20.02.2012, 17:38

Fragesteller01

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Habe gerade einen Merksatz gefunden:
"Punktsymmetrie liegt immer dann vor, wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen."

Dieser Merksatz erklärt mir den Beitrag von "klarsoweit". Habe jetzt viel rumgerechnet und kam zum Entschluss, dass es mir gar nichts bringt, aus der Gleichung mit den Wurzelzahlen zwei Gleichungen zu formen. Hier meine Gleichungen womit ich jetzt etwa eine Stunde am Rumrechnen war:

$\begin{eqnarray*} -2=1a+1c+1e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2,8284=5,6569a+2,8284c+1,4142e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2,8284=-5,6569a-2,8284c-1,4142e \end{eqnarray*}$

Die letzten zwei Gleichungen könnte man theoretisch wieder zusammenfassen in:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} =a(\sqrt{2})^5 + c(\sqrt{2})^3+ e(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Auf alle Fälle komme ich ohne Hilfe bis hier hin nicht weiter. Mit der Aussage von "lgrizu", dass drei Gleichungen reichten, war wohl nicht gemeint, die Gleichung mit den Wurzelzahlen einfach aufzusplitten (zwei Gleichungen draus zu machen).

Wie bekomme ich weitere Gleichungen raus, bzw. was muss ich jetzt machen?

20.02.2012, 18:03

sulo

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Beachte die horizontale Tangente. smile

20.02.2012, 18:39

Fragesteller01

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Ich könnte in die erste Ableitung von f(x), für x die $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Nur leider fehlt mir dann der zugehörige $\begin{eqnarray*} f'(x)-Wert \end{eqnarray*}$ , denn den könnte ich nur bestimmen, wenn ich weiß, was sich hinter den Variablen a,c,e verbiergt. Nur dann bräuchte ich auch garnicht mehr die Gemeinsame Steigung von der Tangente und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen, weil ich dann ja die Funktionsgleichung die ich bestimmen soll, kennen würde.

Ist an der Aussage, dass die Tangente horizontal ist, etwas besonders bzw. gilt da auch wieder eine Zusatzregel?

20.02.2012, 18:51

sulo

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Horizontale Tangente = Extremwert. Augenzwinkern

Daher fehlt dir der zugehörige f'(x)-Wert nicht. smile

20.02.2012, 22:15

Fragesteller01

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Also muss ich die Werte von Q in $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das ist auch garnicht so einfach. Also ich kam jetzt auf die Idee, die Gleichung mir mal so umzustellen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^{4}a+3x^{2}c+e \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Werte von Q einsetze und auflöse, schaut das bei mir so aus:

I. $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} =20a+6c+e \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} -2=1a+1c+1e \end{eqnarray*}$ / * (-6)

III. $\begin{eqnarray*} -2,8284=5,6569a+2,8284c+1,4142e \end{eqnarray*}$ / : (-2,8284)
____________________________________________________

II. $\begin{eqnarray*} 12=-6a-6c-6e \end{eqnarray*}$
I. $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} =20a+6c+e \end{eqnarray*}$
Z. $\begin{eqnarray*} 9,17157=-14a-5e \end{eqnarray*}$ / : (10)
____________________________________________________
III. $\begin{eqnarray*} 1=\frac{5,6569}{-2,8284} a - 1c + \frac{1,4142}{-2,8284}e \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} -2=1a+1c+1e \end{eqnarray*}$
Y. $\begin{eqnarray*} -1=-\frac{28285}{28284} a + 0,5e \end{eqnarray*}$
______________________________________________________
Z. $\begin{eqnarray*} 0,917157=-1,4a-0,5e \end{eqnarray*}$
Y. $\begin{eqnarray*} -1=-\frac{28285}{28284} a + 0,5e \end{eqnarray*}$
ZY. $\begin{eqnarray*} -0,082843=-2,400035356a \end{eqnarray*}$ / : (-2,400035356)
$\begin{eqnarray*} 0,03451740817=a \end{eqnarray*}$
______________________________________________________
Y. $\begin{eqnarray*} -1=-0,03451862856 + 0,5e \end{eqnarray*}$ / +1
Y. $\begin{eqnarray*} 0=0,9654813714 + 0,5e \end{eqnarray*}$ / -0,5e
Y. $\begin{eqnarray*} -0,5e=0,9654813714 \end{eqnarray*}$ / : (-0,5)
Y. $\begin{eqnarray*} 1,930962743=e \end{eqnarray*}$
______________________________________________________
II. $\begin{eqnarray*} -2=0,03451740817+1c+1,930962743 \end{eqnarray*}$ / +2 /-1c
II. $\begin{eqnarray*} -1c=3,965480151 \end{eqnarray*}$ / : (-1)
II. $\begin{eqnarray*} c=-3,965480151 \end{eqnarray*}$

Alle Variablen sind bestimmt:
a= 0,03451740817
c= 3,965480151
e=1,930962743

Daraus jetzt die Funktionsgleichung zu erstellen ist keine große Sache. Jetzt stellt sich mir aber die Frage, habe ich nun bewiesen, dass unsere Mathelehrerin uns quält, denn die Zahlen die dabei herraus gekommen sind, sind ja ziemlich lästig zu schreiben. Oder hätte ich bei der - Wurzel aus 8 besser nicht runden sollen? Werde das erstmal so posten und selber nochmal drüber gucken, ob das alles einen Sinn ergibt. Ich sag auf alle Fälle soweit schonmal danke.

20.02.2012, 22:45

sulo

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Du hast es dir etwas kompliziert gemacht und deine Gleichungen stimmen auch nicht ganz.

I. $\begin{eqnarray*} 0 =20a+6c+e \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} -2=a+c+e \end{eqnarray*}$

III. $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{2}=4\sqrt{2}a+2\sqrt{2}c+\sqrt{2}e | : (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

So wird es besser.

smile

21.02.2012, 19:03

Fragesteller01

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Danke für die Antwort. Also bei I leuchtet mir mein Fehler ein. Da ist der Y-Wert natürlich 0.

I $\begin{eqnarray*} 0=20a+6c+e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : (-5) \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} -2=a+c+e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | * (-4) \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{2} =4\sqrt{2} a+2\sqrt{2} c+\sqrt{2} e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |: (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -2=4a+2c+e \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________________

II $\begin{eqnarray*} 8=-4a-4c-4e \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -2=4a+2c+e \end{eqnarray*}$
Z $\begin{eqnarray*} 6=-2c-3e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : (-3) * (4) \end{eqnarray*}$
__________________________________________________________________
I $\begin{eqnarray*} 0=-4a-1,2c-5e \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -2=4a+2c+e \end{eqnarray*}$
Y $\begin{eqnarray*} -2=0,8c-4e \end{eqnarray*}$
________________________________________________________________
Z $\begin{eqnarray*} -8=\frac{8}{3}c+4e \end{eqnarray*}$
Y $\begin{eqnarray*} -2=0,8c-4e \end{eqnarray*}$
Z-Y $\begin{eqnarray*} -10=\frac{52}{15} c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : \frac{52}{15} \end{eqnarray*}$
Z-Y $\begin{eqnarray*} -\frac{75}{26} = c \end{eqnarray*}$
________________________________________________________________

Y $\begin{eqnarray*} -2=-\frac{30}{13} -4e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | + \frac{30}{13} \end{eqnarray*}$
Y $\begin{eqnarray*} \frac{4}{13} =-4e \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : (-4) \end{eqnarray*}$
Y $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{13}=e \end{eqnarray*}$
________________________________________________________________
II $\begin{eqnarray*} -2=a-\frac{75}{26}-\frac{1}{13} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | -a +2 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} -a= -\frac{25}{26} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : (-1) \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} a= \frac{25}{26} \end{eqnarray*}$

Die Funktionsgleichung müsste somit wie folgt lauten:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{25}{26}x^{5}-\frac{75}{26}x^{3}-\frac{1}{13}x \end{eqnarray*}$

Habe überprüft, ob x = 1 dem y-Wert -2 zugeordnet werden kann und diese Bedingung ist erfüllt. Würde sagen, die Aufgabe habe ich dann jetzt endlich gelöst. Kamen tatsächlich schäbige Werte heraus, aber wenigstens lassen die sich in Form von Brüchen verpacken.

Aber eine Frage habe ich noch:
Sulo hat bei römisch 3 aus der $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gemacht. Aus welchem Grund funktioniert das und wie heißt die Rechenregel dazu?

21.02.2012, 19:11

lgrizu

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Zitat:

Original von Fragesteller01
Aber eine Frage habe ich noch:
Sulo hat bei römisch 3 aus der $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} -2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gemacht. Aus welchem Grund funktioniert das und wie heißt die Rechenregel dazu?

Teilweise Wurzeln ziehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot 2}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}=2 \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

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