Bestimmtes Integral

20.02.2012, 15:47

Gast234

Bestimmtes Integral

Hi,

wie berechnet man dieses Integral ?

$\begin{eqnarray*} \int_1^{e^2} \! \frac{1-2x*ln(x)}{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Idee:

Keine nützlichen unglücklich

Habs mit Partialbruchzerlegung und Substitution versucht.

20.02.2012, 15:55

Mulder

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RE: Bestimmtes Integral
$\begin{eqnarray*} \frac{1-2x \cdot \ln(x)}{x^2} = \frac{1}{x^2} - 2 \cdot \frac{\ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Beide Brüche sind so sehr einfach zu integrieren.

20.02.2012, 16:03

Gast234

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Den Ansatz hatte ich auch schon aber hat mir nichts gebracht^^

Hab mir gedacht das ich da Probleme mit ln bekomme.

Muss ich das in 2 Integrale spalten ?

20.02.2012, 16:06

Mulder

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Zitat:

Original von Gast234
Muss ich das in 2 Integrale spalten

Natürlich! Wozu sonst sollte man wohl den Bruch spalten?

Also mach mal...

20.02.2012, 17:30

Gast234

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ok

$\begin{eqnarray*} \int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2}-2\frac{ln(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2} \, dx-\int_1^{e^2} \! 2\frac{ln(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=ln(x)\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=du*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2} \, dx-\int_1^{e^2} \! 2\frac{1}{x}*u*x* \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2} \, dx-2\int_1^{e^2} \! u \, du \end{eqnarray*}$

oben an die eckige Klammer soll noch $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ und unten $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ stehen keine Ahnung wie man das macht.

$\begin{eqnarray*} [-x^{-1}]-2*[\frac{1}{2}*u^2] \end{eqnarray*}$

u einsetzen

$\begin{eqnarray*} [-x^{-1}]-2*[\frac{1}{2}*(lnx)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-x^{-1}]-[(lnx)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(-e^{2^{-1}})-(-1^{2^{-1}})]+[(lne^2)^2 -(ln1)^2 ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{67}{20} \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 17:43

Mulder

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Zitat:

Original von Gast234
$\begin{eqnarray*} =\int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2} \, dx-\int_1^{e^2} \! 2\frac{1}{x}*u*x* \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_1^{e^2} \! \frac{1}{x^2} \, dx-2\int_1^{e^2} \! u \, du \end{eqnarray*}$

Bei dem zweiten Integral: Die Grenzen 1 und e² gehören zu x! Das heißt, du musst die Grenzen mitsubstituieren. Die Alternative ist, erst einmal unbestimmt zu integrieren und dann die Rücksubstitution durchzuführen. Das ist der Weg, den du gewählt hast und das ist auch okay, aber dann musst du die Grenzen auch wirklich erstmal weglassen. Wenn du die Grenzen, die zu x gehören, stehen lässt, ist das zumindest formal falsch. Die Grenzen dürfen da erst wieder hin, wenn du das u nach dem Integrieren wieder durch ln(x) ersetzt hast.

Zitat:

Original von Gast234
oben an die eckige Klammer soll noch $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ und unten $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ stehen keine Ahnung wie man das macht.

Das geht so: ]_{1}^{e^2}

Zitat:

Original von Gast234
$\begin{eqnarray*} [-x^{-1}]\color{red}-\color{black}[(lnx)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(-e^{2^{-1}})-(-1^{2^{-1}})]\color{red}+\color{black}[(lne^2)^2 -(ln1)^2 ] \end{eqnarray*}$

Warum wird da aus dem Minus plötzlich ein Plus? Edit: Und bei den -1 steht noch ein "hoch 2", das da eigentlich nicht hingehört. Richtet jetzt keinen größeren Schaden an, aber es sei noch angemerkt.

Dein Ergebnis stimmt dementsprechend auch nicht.

PS: Ich gehe davon aus, dass hier keine Flächen berechnet werden sollen, sondern nur das Integral ausgewertet werden soll.

20.02.2012, 18:45

Gast234

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Danke

habs jetzt.

$\begin{eqnarray*} = -0,135+1-4-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-0,135-3 \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} -0,135 \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$ sein.

Im Ergebnis steht:

$\begin{eqnarray*} -3-\frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 19:11

Mulder

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Ja, so sieht's gut aus. smile

Ich würd auch nicht runden, das 1/e² kann ruhig so stehen bleiben.

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