Abstand von Punkten einer Geraden zu einer Ebene

20.02.2012, 17:52

Captain Reflektor

Abstand von Punkten einer Geraden zu einer Ebene

Meine Frage:
E: 3x-4y+6z=36
g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Frage: Welche Punkte der Geraden g haben zur Ebene E den Abstand $\begin{eqnarray*} 6*\sqrt{61} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Grundgleichung für Abstandsberechnung:
d= $\begin{eqnarray*} | \vec{v_{R}}-\vec{v_{0}} | * \vec{n_{0}} \end{eqnarray*}$
Lösungsansätze:
$\begin{eqnarray*} \vec{n_{0}}=\frac{\vec{n} }{| \vec{n} | } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun komme ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank im Vorraus.

MfG Captain Reflektor smile

edit: "Brauche unbedingt eine Lösung!" ist kein aussagekräftiger Titel, daher geändert.
LG sulo

20.02.2012, 18:12

Bjoern1982

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Zitat:

d= $\begin{eqnarray*} | \vec{v_{R}}-\vec{v_{0}} | * \vec{n_{0}} \end{eqnarray*}$

Statt diese Form zu benutzen (bei der man eh raten muss was die Bezeichnungen bedeuten), würde ich wie folgt vorgehen:

1) Betrag des Normalenvektors ausrechnen und die Ebenengleichung durch diesen dividieren (HNF)

2) Gerade g als Punkt P(6+2t|-9+3t|3t) ausdrücken und in die HNF von E einsetzen

3) Den entstehenden Term mit dem gegebenen Abstand gleichsetzen und die Betragsgleichung nach t auflösen

20.02.2012, 18:52

Captain Reflektor

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v_R: Ortsvektor des Punktes, dessen Abstand gesucht ist
v_0: Ortsvektor eines Punktes von E oder g

Nun verstehe ich nicht ganz, was Sie damit meinen: die Ebenengleichung mit dem erhaltenen Betrag des Normalenvektors dividieren.
Für den Betrag kommt Wurzel (61) heraus. Damit lässt sich nun sehr schwer weiterrechnen, da dort sehr lange Dezimalzahlen entstehen(wenn ich die Ebenengleichung durch den Betrag teile). Könnten Sie mir das bitte nochmal etwas genauer beschreiben? Danke im Vorraus.

MfG Captain Reflektor

20.02.2012, 19:16

Bjoern1982

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Zitat:

Für den Betrag kommt Wurzel (61) heraus. Damit lässt sich nun sehr schwer weiterrechnen, da dort sehr lange Dezimalzahlen entstehen

Gerade das ist doch wunderbar mit der Wurzel(61), denn diese kommt ja auch schon im gegebenen Abstand d vor, deswegen einfach so stehen lassen und tunlichst nicht mit irgendwelchen Kommazahlen rumrechnen.

Deine Vektorformel führt im Endeffekt ja auf dasselbe.
$\begin{eqnarray*} \vec{v_R} \end{eqnarray*}$ ist dann halt der Otrsvektor zu meinem obigen Geradenpunkt P und $\begin{eqnarray*} \vec{v_0} \end{eqnarray*}$ ist z.B. der Ortsvektor zum Punkt (0|0|6).

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