kompliziertes integral

20.02.2012, 18:43

bruno2

kompliziertes integral

hi,

ich möchte das unbestimmte integral lösen (es soll keine grenzen geben, weiß nicht wie ich ein unbestimmtes integral mit latex erstelle):

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

substitution: x=sin(t); t=arcsin(x); $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} =cos(x) \end{eqnarray*}$ ; dx=cos(t) dt

mit dem trigonom. pythagoras für nennerumformung komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{sin^2(t)}{cos(t)}*cos(t) \, dt \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin2(t) \, dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(t)sin(t)+t}{2} \end{eqnarray*}$ (mit partieller integration, auch hier fand der trigonom. pythagoras anwendung)

an dieser stelle hab ich nun rücksubstituiert: t=arcsin(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(arcsin(x))*sin(arcsin(x)+arcsin(x)}{2} \end{eqnarray*}$

das ergebnis soll aber sein:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} x(1-x^2)+arcsin(x) \end{eqnarray*}$

edit: das vergessene t durch x ersetzt

ich finde den fehler einfach nicht und bin am verzweifeln. ich hoffe jemand von euch kann mir helfen.

danke im voraus!

20.02.2012, 19:07

original

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RE: kompliziertes integral

Zitat:

Original von bruno2

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

substitution: x=sin(t);

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(t)sin(t)+t}{2} \end{eqnarray*}$ Freude

das ergebnis soll aber sein: unglücklich

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} x(1-x^2)+arcsin(x) \end{eqnarray*}$

ersetze in deinem Ergebnis sin(t) durch x und cos(t) durch verwirrt

das Ergebnis soll etwas anders als oben unglücklich

notiert aussehen..
nämlich: richtig ist.... ..?
.

20.02.2012, 19:18

bruno2

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danke dass du dich meldest. ich weiß gerad enicht, was du von mir willst traurig

20.02.2012, 19:21

chrizke

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Du hast bis dahin wo du warst richtig gerechnet.

Das Problem ist, dass die korrekte Lösung nicht die von dir angegebene ist sondern:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{1}{2}(-x\sqrt{1-x^2}+\operatorname{arcsin}(x)) \end{eqnarray*}$

20.02.2012, 19:30

bruno2

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achso. es kann natürlich sein, dass ich das ergebnis falsch abgeschrieben hab.

vielen dank euch beiden!

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