Linearisierung von ln

20.02.2012, 19:15	Aquila	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung von ln Hallo ich lernen gerade für eine Matheprüfung und komm beim Thema Linearisierung nicht weiter Gegeben ist das Beispiel: "Berechnen Sie einen Näherungswert für ln(1.2) mit Hilfe von Linearisierung. Wie groß ist der durch die Approximation verursachte Fehler?" als Lösung hab ich gegeben: Die Linearisierung für den Logarithmus lautet: ln(x)~ln(x0)+(1/x0)(x-x0) Mit x0 = 1 ergibt die Linearisierung sofort (mit sehr kleinem Rechenaufwand!) ln(1.2) ~ 0 + 1/1(1,2-1)=0,2 Der Taschenrechner liefert ln(1.2) = 0, 182321557 . . ., somit ist der durch die Approximation verursachte Fehler ∆f = 0.01767 . . .. Der relative Fehler beträgt 9.7%. Das ist ja schön und gut aber wie komme ich auf ln(x)~ln(x0)+(1/x0)(x-x0) Muss ich mir diese irgendwie herleiten oder steht die in einer Tabelle? Wir dürfen für die Prüfung eine Formelsammlung verwenden in der "Taylorentwicklungen wichtiger Funktionen" stehen. Kann ich das irgendwie aus einer dieser herauslesen? (zB. ln(1+x) -> $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)x^{n+1} \frac{x^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ) Ich hab gerade nicht wirklich Ahnung wie ich da weiter vorgehen soll...
20.02.2012, 20:18	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Linearisierung heißt Taylorpolynom erster Ordnung. Wenn du die Taylorreihe kennst: gut! Dann ist das einfach. Und sonst gibt es die Taylorformel: [Artikel] Taylorapproximation
20.02.2012, 20:25	Aquila	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo danke für die Antwort Eigentlich ist das das Kapitel vor Taylorpolynome, die ich noch nicht kann. Zum lösen der Aufgabe ist es sicher nicht vorrausgesetzt diese zu können. Ich würde gern erst dann zu den Taylorpolynomen übergehen wenn ich verstanden hab wie das funktioniert.... lg
20.02.2012, 21:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung= Ersetzen der Funktion durch eine geeignete Gerade Dies ist hier am einfachsten durch die Tangente im Punkt (1/0) gegeben.
20.02.2012, 21:39	Aquila	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe gerade heraus gefunden wie es funktioniert: mit der Gleichung: $\begin{eqnarray} f(x0+delta x)=f(x0)+f'(x0)delta x \end{eqnarray}$ mit f(x)=ln(x) und f'(x)=1/x ergibt das: $\begin{eqnarray} f(x0+delta x)=ln(x)+1/xdelta x \end{eqnarray}$ dann hab ich x0 =1 gesetzt dann komm ich auf: f(x0+delta x)=0+1/1*0,2 und damit auf das gesuchte Ergebnis von 0,2 lg Aquila

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