Schnittgerade von zwei Ebenen

20.02.2012, 19:18

Shairon

Schnittgerade von zwei Ebenen

Meine Frage:
Guten Tag liebe Mitlesenden, ich wende mich an euch, weil ich seit zwei Tagen wirklich am Thema Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen scheitere. Eigentlich bin ich gar nicht so dumm in Mathe, bisher habe ich immer alles irgendwie letztendlich selbst hinbekommen, aber mittlerweile bin ich mit meinen Ideen am Ende und hoffe sehr, dass ihr mir zeigen könnt, warum nicht das rauskommt, was rauskommen sollte. =)

Folgende Aufgabe: Bestimme die Schnittgerade der Ebene E(1) und E(2).

E(1): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

E(2): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Lösung für diese Aufgabe wird die Schnittgerade $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angegeben. Ich habe die Aufgabe jetzt auf zwei Wege durchgerechnet und nie komme ich auf diese Lösung. So ergeht es mir auch bei anderen Schnittgeradenaufgaben, weswegen ich wohl irgendetwas grundsätzlich falsch machen muss, was mir trotz größter Bemühungen einfach selbst nicht auffällt.

Ansatz 1: Ich habe die zwei Ebenen gleichgesetzt.

1 +r +2s = 3 +2t + v
7 -r -5s = 5 +3t +v
3 +2r +8s = 7 +2v

Die Gleichungen so umformen, dass alle Variablen auf einer Seite sind.

-2t -v +r +2s = 2
-3t -v -r -5s = -2
-2v +2r +8s = 4

Bei drei Gleichungen mit vier Variablen kann ich eine frei wählen. Ich habe für s den Parameter p eingesetzt und mit dem grafikfähigen Taschenrechner die Variablen ausgerechnet.

Ergebnis:

s = p
t = -p
v = p
r = -3p +2

Den Wert von r habe ich dann in die erste Ebenengleichfung für das r dort eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (3s +2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich somit die Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \\ 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Aufpunkt stimmt ja mit dem der Lösung überein, der Richtungsvektor ist aber ein völlig anderer, auch kein Vielfaches von dem in der Lösung.

Dann habe ich die Aufgabe nochmal neu durchgerechnet mit einem anderen Weg.

Ansatz 2: Ich habe die Parametergleichung der ersten Ebene umgewandelt in eine Koordinatengleichung.

E(1): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dafür bilde ich aus den zwei Stützvektoren das Vektorprodukt/Kreuzprodukt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ergibt folgende Koordinatengleichung, wobei ich den Punkt (1/7/3) benutze um das "=d" auszurechnen.

2x(1) - 4x(2) - 3x(3) = -35

Jetzt setze ich die Werte aus der zweiten Ebene ein.

E(2): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in E(1): 2(3+2r+s) -4(5+3r+s) -3(7+2s)
= -8r - 8s = 35
-> r = -4,375 -s

Diesen Wert von r setze ich in die zweite Ebenengleichung ein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-4,375-s) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8,75 \\ -13,125 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ergibt dann folgenden Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5,75 \\ -8,125 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diesmal stimmt der Richtungsvektor mit dem der Lösung überein, allerdings ist der Aufpunkt ein anderer. Setze ich diesen Punkt zum Beispiel in die Koordinatengleichung der Ebene 1 ein, so erhalte ich das Ergebnis, dass dieser Punkt gar nicht auf der Ebene liegt, was er ja eigentlich müsste.

E(1): 2x(1) -4x(2) -3x(3) = -35
Aufpunkt einsetzen: 2(-5,75) - 4(-8,125) - 3(7) = 0

Da -35 nicht das gleiche ist wie 0, liegt mein Punkt nicht in Ebene 1, was er eigentlich müsste....

Ich hoffe sehr, dass mir hier jemand sagen kann, was ich denn falsch mache und bedanke mich schonmal für jeden, der versucht mir etwas zu helfen.

Liebe Grüße.

20.02.2012, 19:24

lgrizu

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RE: Schnittgerade von zwei Ebenen
Bei deinem Ansatz 1 hast du einen Vorzeichenfehler, das Ergebnis ist r=-3s+2, gerechnet hast du mit r=+3s+2...

20.02.2012, 19:32

Shairon

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Vielen vielen Dank, damit komme ich im ersten Ansatz endlich auf die richtige Lösung.

Wäre super wenn mir noch jemand sagen könnte, was beim zweiten Ansatz mein Fehler gewesen ist, da ich so eigentlich lieber rechnen würde, weil ich dazu den grafikfähigen Taschenrechner nicht wirklich einsetzen muss. Müsste ich zwar beim ersten auch nicht, aber für das Lösen des Gleichungssystems benötigt man sonst mehr Zeit.

20.02.2012, 19:41

lgrizu

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Zitat:

Jetzt setze ich die Werte aus der zweiten Ebene ein.

E(2): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in E(1): 2(3+2r+s) -4(5+3r+s) -3(7+2s)
= -8r - 8s = 35
-> r = -4,375 -s

Hier ist der Fehler:

$\begin{eqnarray*} 2(3+2r+s) -4(5+3r+s) -3(7+2s)=-35 \Rightarrow -8r-8s=0 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Weiter hab ich jetzt noch nicht gerechnet.....

20.02.2012, 20:01

Shairon

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Super, dann komme ich auch hier auf die richtige Lösung. Habe wirklich bisher immer vergessen, dieses "d" aus der Koordinatengleichung unten dann auch mitzunehmen. Damit hast du mir meine Zuversicht gerettet, dass doch noch Hoffnung besteht und ich die Wege eigentlich verstanden habe, wenn nicht immer Flüchtigkeitsfehler alles zunichte machen. smile

Einen schönen Abend dir noch.

20.02.2012, 20:03

lgrizu

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Die Rechenwege waren richtig, das macht die Fehlersuche dann ja so schwer Augenzwinkern

Wenns vorne und hinten bereits im Ansatz nicht stimmt ist eine Aufgabe schnell korrigiert.

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