Kern bestimmen

20.02.2012, 21:18

Cheftheoretiker

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Kern bestimmen

Hallo,

ich möchte von folgender linearen Abbildung den Kern bestimmen,
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\mapsto 2x+7y \end{eqnarray*}$

Ich bin folgendermaßen vorgegangen,

$\begin{eqnarray*} kern(f)=\{v\in V|f(v)=0\}=\{\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3|f\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}=0\}=\{\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3|2x+7y=0\} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich aber nun weiter? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 21:25

Mulder

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RE: Kern bestimmen

Zitat:

Original von hangman
Ich bin folgendermaßen vorgegangen,

$\begin{eqnarray*} kern(f)=\{v\in V|f(v)=0\}=\{\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3|f\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}=0\}=\{\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3|2x+7y=0\} \end{eqnarray*}$

Da hast du doch überhaupt nichts gemacht, außer Definition hinschreiben? verwirrt

verwirrt

Gelten muss 2x+7y=0. Dafür kannst du doch eine Lösungsmenge angeben? Lös doch mal nach x oder y auf. Dann bist du schon fast fertig.

20.02.2012, 21:29

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
$\begin{eqnarray*} =\{\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z\end{pmatrix}\in\mathbb R^3|x=-\frac{7y}{2},y=-\frac{2x}{7}\} \end{eqnarray*}$

So? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 21:34

Mulder

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RE: Kern bestimmen

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{7y}{2},y=-\frac{2x}{7}\ \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt redundant, diese beiden Gleichungen sind doch identisch. Eine reicht.

Im Kern liegen also alle Vektoren der Form (x, -2x/7, z).

20.02.2012, 21:36

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Wieso reicht denn ein Ausdruck? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 21:38

Mulder

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RE: Kern bestimmen
Warum meinst du denn, dass das nicht reicht?

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20.02.2012, 21:42

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Ja weil ich doch x und y einen Wert zuweisen kann. verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 21:48

Mulder

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RE: Kern bestimmen
Das ist absolut keine sinnvolle Antwort.

Im Kern liegen nur die Vektoren, bei denen 2x+7y=0 gilt. Die ersten beiden Komponenten der Vektoren müssen also in einem ganz bestimmten Verhältnis zueinander stehen. In welchem, hast du schon gesagt.

Es muss x=-7y/2 gelten. Bei einem Element aus dem Kern ist also der Eintrag in der zweiten Komponenten bereits eindeutig bestimmt durch den Eintrag in der ersten Komponente. Angenommen wir nehmen uns einen Vektor aus dem Kern, der in der ersten Komponenten eine 3 stehen hat. Dann ist sofort klar, in der zweiten Komponenten muss -6/7 stehen, sonst läge der Vektor nicht im Kern.

Edit: Tippfehler korrigiert.

Und noch mal:

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} x=-\frac{7y}{2},y=-\frac{2x}{7}\ \end{eqnarray*}$

Da steht zweimal genau der gleiche Murks, nur einmal nach x und einmal nach y aufgelöst. das ist einfach doppelt gemoppelt und unnötig. Diese Gleichungen drücken doch ein Verhältnis aus.

20.02.2012, 21:58

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Das wäre doch dann die Lineare Hülle $\begin{eqnarray*} L=\left(1;-\frac{2}{7};1\right) \end{eqnarray*}$

Und das wäre ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 22:00

lgrizu

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RE: Kern bestimmen
Da Mulder offline ist...

Das ist schon wieder Murks.

Wie löst man denn ein LGS mit drei Unbekannten und einer Gleichung?

20.02.2012, 22:02

Mulder

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RE: Kern bestimmen

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} L=\left(1;-\frac{2}{7};1\right) \end{eqnarray*}$

Wieso steht da eine 1 in der dritten Komponente?

Und: Bei einer linearen Abbildung F: V -> W ist der Kern von F immer ein Untervektorraum von V.

20.02.2012, 22:06

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Wegen dem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ dachte ich? verwirrt

verwirrt

Ja, $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ in dieser Aufgabe.

20.02.2012, 22:09

Mulder

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RE: Kern bestimmen
Deine linare Hülle macht so doch überhaupt keinen Sinn. Beispiel: Der Vektor

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} 1 \\ - \frac 2 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liegt im Kern von f. Er liegt aber nicht in deinem L. Also ist dein L nicht der Kern von f.

In deinem L liegen nur Vektoren, die auch x=z erfüllen. Das ist aber überhaupt nicht notwendig, um im Kern von f zu liegen.

20.02.2012, 22:13

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Und was ist dann die Lineare Hülle? verwirrt

verwirrt

20.02.2012, 22:18

Mulder

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RE: Kern bestimmen
Hier musst du eigentlich überhaupt nicht mit linearen Hüllen arbeiten. Den Kern hast du doch eigentlich schon lange bestimmt. Was möchtest du denn noch?

Wenn du den Kern doch unbedingt als eine lineare Hülle beschreiben willst, musst du dir erstmal klar machen, dass die Dimension des Kerns von f hier 2 ist. Das heißt, ein einzelner Vektor kann nie und nimmer den ganzen Kern erzeugen.

20.02.2012, 22:20

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Okay, vielen Dank! Gott

Gott

20.02.2012, 22:25

Mulder

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RE: Kern bestimmen
? Also, um das jetzt nicht so abrupt enden zu lassen: Wenn schon, dann beispielsweise

$\begin{eqnarray*} \ker(f) = \bigg \langle \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{7} \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \bigg \rangle \end{eqnarray*}$

Diese beiden Vektoren bilden nämlich eine Basis des Kerns. Dann erzeugen sie logischerweise auch den gesamten Kern.

21.02.2012, 13:10

Cheftheoretiker

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RE: Kern bestimmen
Ich fühle mich in dem gesamten Thema noch recht unsicher, ich denke das wird sich aber mit der Zeit legen. Vielen Dank!

hangman! smile

smile

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