1. Ableitung von x²/ln(x+1).. so richtig?

21.02.2012, 10:38

Strobel

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1. Ableitung von x²/ln(x+1).. so richtig?

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
undzwar habe ich folgende Formel: f(x)=x2/ln(x+1)
Mit der Quotientenregel komme ich nun auf folgendes Ergebnis:

Meine Ideen:
f'(x)=(2x)(ln(x+1))-(x²)*(1/x(x+1))
_____________________________
(ln(x+1))2

mein Rechner sagt mir aber:
2?x?ln(x+1)+2?ln(x+1)?x
f verwirrt

verwirrt

x)= x? ________________________
(x+1)?ln(x+1)2

Ich kann mir vorstellen das mein Rechner es direkt "vereinfacht" .. aber ich bekomme diese vereinfachung nicht auf die schnelle hin.
Wäre denn meine Lösung korrekt, in einer Klausur, wenn nur nach der 1. Ableitung gefragt wird?

Liebe Grüße
Strobel

21.02.2012, 10:48

lgrizu

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RE: 1. Ableitung von x²/ln(x+1).. so richtig?

Zitat:

Original von Strobel

Meine Ideen:
f'(x)=(2x)(ln(x+1))-(x²)*(1/x(x+1))
_____________________________
(ln(x+1))2

Wo kommt dieses x her? verwirrt

verwirrt

21.02.2012, 10:53

Strobel

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f ' (x)= u'*v - u*v' / v²

u=x² u'=2x
v=ln(x+1) v'=1/x(x+1)

oder nicht?

21.02.2012, 10:59

lgrizu

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Zitat:

v=ln(x+1) v'=1/x(x+1)

Welche Regel hast du dabei verwendet?

21.02.2012, 11:01

Strobel

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Quotientenregel mit

lnx = 1/x

21.02.2012, 11:03

lgrizu

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Erst mal hoffe ich, dass du meinst $\begin{eqnarray*} (\log(x))'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Und wieso die Quotientenregel? verwirrt

verwirrt

Log(x) ist doch gar kein Quotient, und wenn, dann ist der Nenner 1.....

Versuch einmal, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=\log (x+1) \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel zu bilden.

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21.02.2012, 11:10

Strobel

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Da steh nichts von log!

nur wie obene geschrieben f(x)= x^2/ln(x+1)
und davon die 1. Ableitung.
Wieso kann ich die nicht mit der Quotientenregel lösen?
traurig

traurig

21.02.2012, 11:17

lgrizu

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Das ln ist doch ein Logarithmus...

Unterschiedliche Schreibweisen sollten schon bekannt sein, Latex kennt den Befehl \ln leider nicht....

Die Ableitung von f(x) kannst du auch mit der Quotientenregel bestimmen, es geht jetzt um die Ableitung von deinem $\begin{eqnarray*} v(x)=\log (x+1) \end{eqnarray*}$ , also um $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$ .

Und dazu braucht man die Kettenregel (wenn man es nicht sofort sieht).

Also, leite einmal v(x) ab....

21.02.2012, 11:27

Strobel

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Gut, also habe ich nun

von ln(x+1) .. 1.Ableitung mit Hilfe von der Kettenregel 1/x+1
oder?

21.02.2012, 11:29

lgrizu

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Jap, genau, v(x)=ln(x+1) --> v'(x)=1/(x+1), also kein zusätzliches x im Nenner.

Und nun Quotientenregel für f...

21.02.2012, 11:38

Strobel2k

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Lösung für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2/ln(x+1) \end{eqnarray*}$ wäre dann:
$\begin{eqnarray*} f' (x)=(2x)*(ln(x+1))-(x^2)*(1/(x+1))/(ln(x+1))^2 \end{eqnarray*}$

?

21.02.2012, 11:40

lgrizu

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Wenn du Latex benutzt, kannst du auch schön Brüche schreiben, ansonsten Klammern richtig und vollständig setzen.

Der Formeleditor vereinfacht dir den Einstieg mit Latex am Board.

Nun ist richtig:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x \cdot \log(x+1)-x^2 \cdot \frac{1}{x+1}}{\log^2(x+1)} \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 11:53

Strobel2k

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Und dies wäre jetzt als 1.Ableitung korrekt in einer Klausur?
Man muss nicht vereinfachen?

Habe noch eine Ableitung.. (ich versuch mich mal an Latex):

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^3\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Produktregel:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(9x^2)\cdot (\sqrt{1+x^2})+ (\frac{x}{\sqrt{x^2+1} }) \cdot (3x^3) \end{eqnarray*}$

Richtig?

21.02.2012, 12:28

lgrizu

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Ich weiß nicht, wie die Regeln sind, wie weit du vereinfachen sollst musst du mal deinen Lehrer fragen, ich würde dafür keinen Punkt abziehen, aber schaden kann es auch nicht.

Deine Ableitung ist richtig.

21.02.2012, 12:57

Leopold

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"Vereinfachen" ist kein mathematischer Fachbegriff. Wie lgrizu schon gesagt hat, hängt es davon ab, was im Unterricht explizit (ausdrücklich) oder implizit (durch praktisches Handeln und Gewohnheit) darüber vereinbart wurde. Im allgemeinen läßt man aber einen Bruch im Bruch nicht stehen. Insofern wäre lgrizus Term noch weiter zu behandeln. Man muß das aber nicht so sehen. So ist zum Beispiel die Formel

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)} \end{eqnarray*}$ oder noch besser: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \end{eqnarray*}$

zur Berechnung des harmonischen Mittels $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ zweier positiver Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ eingängiger als die äquivalente Form

$\begin{eqnarray*} h = \frac{2ab}{a + b} \end{eqnarray*}$

obwohl sie der üblichen Konvention, wie weit zu "vereinfachen" ist, widerspricht. Sie zeigt nämlich besser das Denken, das hinter dem entsprechenden Ausdruck steht, an.

21.02.2012, 13:08

Strobel2k

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Okay vielen Dank. Ich werde nachfragen.

Letzte "Richtig oder Falsch Frage".

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{- x} +5e^{2x^2-3x+1} \end{eqnarray*}$

1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=- e^{-x} \cdot (2x^2-3x+1)+(4x-3)e^{-x} +5e \end{eqnarray*}$

Kommt mir iwie merkwürdig vor... =/

21.02.2012, 13:34

lgrizu

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Falsch, die Produktregel ist wirklich nur bei Produkten anwendbar, nicht einfach auf Summen übertragen.

21.02.2012, 14:29

Strobel2k

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Zuerst habe ich ja die Kettenregel für $\begin{eqnarray*} e^-2+5e \end{eqnarray*}$ angewendet.
Und dann Produktregel.
Inwiefern ist es denn falsch unglücklich

unglücklich

Könntest du mir den Lösungsweg erklären?
Vielen lieben Dank!

21.02.2012, 14:45

lgrizu

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Das hier ist aber die richtige Funktion, oder?

Zitat:

Original von Strobel2k

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{- x} +5e^{2x^2-3x+1} \end{eqnarray*}$

Hier liegt doch gar kein Produkt vor, sondern eine Summe.

Deinen letzten Post verstehe ich ehrlich gesagt nicht....

Wie wird denn die Summe $\begin{eqnarray*} u(x)+v(x) \end{eqnarray*}$ abgeleitet?

22.02.2012, 09:40

Strobel2k

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Ja die Ausgangsfunktion ist so richtig,..

Also würde es mit Ketten + Summenregel so aussehen?:

-e^-x ^4x-3

oder wie sieht das aus?

22.02.2012, 09:45

lgrizu

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Ich kann leider echt nicht nachvollziehen, was du meinst:

Zitat:

-e^-x ^4x-3

Hier steht:

$\begin{eqnarray*} -e^{-x^{4x-3}} \end{eqnarray*}$

^ist "hoch", und das ist mal kompletter Murks.

Nun beantworte doch mal die Frage:

Wie leitet man $\begin{eqnarray*} u(x)+v(x) \end{eqnarray*}$ ab?

22.02.2012, 10:27

Strobel2k

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Ups. Meinte $\begin{eqnarray*} -e^{-x4x-3} \end{eqnarray*}$

Hm, versteh deine Frage nicht..
$\begin{eqnarray*} u(x)-v(x) \end{eqnarray*}$
= u-v

Ist doch das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} y = f(x)=x^2 + x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = f'(x)=2x + 2x \end{eqnarray*}$

?

22.02.2012, 10:30

lgrizu

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u(x)+v(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$ , es wird also Summandenweise abgeleitet.

Nun übertrage das auf deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x}+5e^{2x^2-3x+1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} u(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=5e^{2x^2-3x+1} \end{eqnarray*}$ .

22.02.2012, 11:09

Strobel2k

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$\begin{eqnarray*} u'(x)=-e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=e^{4x-3} \end{eqnarray*}$

nicht richtig?

22.02.2012, 11:14

lgrizu

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u' stimmt, bei v ist die Kettenregel anzuwenden.

22.02.2012, 11:27

Strobel2k

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$\begin{eqnarray*} v'(x)= e^{2x^2-3x+1}\cdot4x-3 \end{eqnarray*}$

wenn ich die kettenregel anwende?!

22.02.2012, 11:58

lgrizu

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Klammern setzen (das habe ich auch schon mehrfach gesagt).

Und der Faktor 5 wurde vollständig vernachlässigt.....

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} v'(x)=5 \cdot e^{2x^2-3x+1} \cdot (4x-3) \end{eqnarray*}$

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