Doppelte Allquantoren

21.02.2012, 12:02	LogikAffe	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte Allquantoren Meine Frage: Hallo, ich hoffe, ich bin im richtigem Unterforum gelandet; da es sich um eine allgemeine Frage zur Logik handelt, wollte ich es nicht in einem speziellem Unterforum posten. Nun, es geht mir um doppelte Allquantoren, oder doppelt (oder dreifach) indizierte Allquantoren. Wie geht man mit diesen um, was Negation, etc. angeht. Ein Beispiel, die Kommutativität von irgendwelchen Objekten, bzgl. irgendeiner Verknüpfung $\begin{eqnarray} \forall a \in A:\forall b \in B: a\circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich würde sie stets als kartesisches Produkt schreiben, mit $\begin{eqnarray} \emptyset \times B = \emptyset \end{eqnarray}$ und analog ... D.h.: $\begin{eqnarray} \forall a \in A:\forall b \in B: a\circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ entspricht eigentlich: $\begin{eqnarray} \forall (a,b) \in A \times B: a\circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ Dann ist mir auch die Negation klar: $\begin{eqnarray} \exists (a,b) \in A \times B: a\circ b \neq b \circ a \end{eqnarray}$ Und insbesondere der Fall, falls $\begin{eqnarray} A = \emptyset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B = \emptyset \end{eqnarray}$ . Lasse ich dies einzeln stehen, dann ergibt die Negation: $\begin{eqnarray} \exists a \in A: \exists b \in B: a\circ b \neq b \circ a \end{eqnarray}$ Okay. Aber wie ist das, wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray} B = \emptyset \end{eqnarray}$ ? Dann ist $\begin{eqnarray} \forall a \in A:\forall b \in B: a\circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ immer wahr, da es für alle $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ offensichtlich gilt? Wäre super, wenn mir das jemand bestätigen könnte, Lieben Gruß
21.02.2012, 12:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} \neg \left( \forall x \left( \ldots \right) \right) \equiv \exists x \neg \left( \ldots \right) \end{eqnarray}$ . Das Zeichen $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ verwende ich, um die logische Äqivalenz (Tautologie) anzuzeigen. Bei aufeinanderfolgenden Allquantoren kannst du Linksklammerung annehmen, also z.B. $\begin{eqnarray} \forall x \forall y \forall z \left( \ldots \right) \equiv \forall x \left( \forall y \left( \forall z \left( \ldots \right) \right) \right) \end{eqnarray}$ Entsprechendes gilt auch bei aufeinanderfolgenden Existenzquantoren. Du kannst bei deinem Beispiel daher ganz formal so vorgehen (die Quantifizierung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erfolgt über die Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ über die Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \neg \left( \forall a \forall b \left( a \circ b = b \circ a \right) \right) \equiv \neg \left( \forall a \left( \forall b \left( a \circ b = b \circ a \right) \right) \right) \equiv \exists a \neg \left( \forall b \left( a \circ b = b \circ a \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \equiv \exists a \left( \exists b \neg \left( a \circ b = b \circ a \right) \right) \equiv \exists a \left( \exists b \left( a \circ b \neq b \circ a \right) \right) \equiv \exists a \exists b \left( a \circ b \neq b \circ a \right) \end{eqnarray}$ Ob $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ hier leer sind, ist unerheblich.
21.02.2012, 15:28	LogikAffe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir! :tumb: Wenn einer der beiden Mengen leer wäre, dann wäre die Aussage (nicht die Negation) aber trivialer Weise erfüllt, oder? Kann ich diese mehrfachen Allquantoren auch umschreiben zu einer Aussage über einem entsprechendem kartesischen Produkt? (so wie ich oben meinte.) Gruß
21.02.2012, 19:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin kein Fachmann für Logik, würde aber meinen, daß es nicht ganz dasselbe ist. Man kann etwa $\begin{eqnarray} \forall x \forall y \ \mathfrak{A}(x,y) \end{eqnarray}$ schreiben, wobei $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}(x,y) \end{eqnarray}$ ein Ausdruck in den Variablen $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ ist. Wenn man nun zu Paaren $\begin{eqnarray} \tau = (x,y) \end{eqnarray}$ übergeht: $\begin{eqnarray} \forall \tau \ \mathfrak{A}(x,y) \end{eqnarray}$ dann quantifiziert man über neue Objekte, nämlich die Paare $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ , die gar nicht mehr in $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}(x,y) \end{eqnarray}$ als Variable vorkommen. Aber vielleicht weiß jemand anderes hierüber mehr.
21.02.2012, 21:38	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass Quantoren i.A. nur für Variablen definiert ist. Man kann zwar wie du dir das überlegt hast und Leopold vorschlägt nur über geordnete Paare quantifizieren, aber dies ist nur eine Abkürzung eines längeren Ausdrucks mit quantifizierten Variablen $\begin{eqnarray} \forall \tau \in A \times B \mathfrak{A}(x,y) \text{ ist kurz für } \forall \tau : (\tau \in A \times B \rightarrow \mathfrak{A}(x,y)) \text{ ist kurz für } \forall \tau : (\exists a \in A : \exists b \in B : \tau = (a,b) \rightarrow \mathfrak{A}(x,y)) \end{eqnarray}$ Um doppelte Quantoren zu vermeiden, taugt dies also nicht.
22.02.2012, 11:31	LogikAffe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay! Danke für die Antworten.
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