Trigonometrie Trapez

21.02.2012, 14:29

Tipso

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Trigonometrie Trapez

Von einem Trapez sind von den Bestimmungsstücken a, b, c, d, e, f, h, $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma, (delta) \end{eqnarray*}$ und A vier gegeben. Berechne die übrigen Bestimmungsstücke!

b=d= 65

e= 156

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 75,75°

Hoffentlich die letzte Aufgabe für Heute. Big Laugh

Big Laugh

lg

Ps.
Lösungsvorschläge folgen später.

21.02.2012, 14:58

riwe

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RE: Trigonometrie Trapez
(unter der voraussetzung a parallel c) folgt mit b = d, dass es sich um ein gleichschenkeliges trapez handelt, was vieles leichter macht Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2012, 15:05

Tipso

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Also da b=d gleichlang sind müssen c= a auch gleichlang sein ?!

Habe ich das richtig verstanden ?!

Bei einem gleichschenkligen Trapez handelt es sich um ein Parallelogramm also Winkel von zwei Seiten gleich.

lg

21.02.2012, 15:08

riwe

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Zitat:

Original von Tipso
Also da b=d gleichlang sind müssen c= a auch gleichlang sein ?!

Habe ich das richtig verstanden ?!

Bei einem gleichschenkligen Trapez handelt es sich um ein Parallelogramm also Winkel von zwei Seiten gleich.

lg

nein, das habe ich nicht gesagt unglücklich

unglücklich

es gilt b = d und nicht damit auch a = c

21.02.2012, 15:20

Tipso

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aber wenn dazu a // c dann handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

Dies würde Erleichterung schaffen, weil

Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind.

21.02.2012, 15:35

riwe

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wenn dir symmetrisch lieber als gleichschenkelig ist, dann sei das trapez eben symmetrisch.
immer noch folgt daraus NICHT a = c.
mache dir halt ein bilderl und denke über die winkel bei A und B nach, schon hast du den rest

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21.02.2012, 15:39

Tipso

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Beta = 180 - Alpha = 104,25

Beta = Gamma

Alpha = Delta

X)

------------------------------------------------

cos(alpha/2) = A/H

cos(alpha/2) = (a/2)/(e/2)

(a/2)=cos(alpha/2)*(e/2)

(a/2)= cos(75,75/2)*(156/2)

(a/2) = 61,5694

a= 123,138 ( fail )

21.02.2012, 15:55

riwe

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letzter versuch, dich von einem parallelogramm abzubringen unglücklich

unglücklich

wie im bilderl ("oder umgekehrt")

21.02.2012, 16:03

Tipso

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Demnach ist Alpha = Beta

Gamma = Delta

180-Alpha = Delta

180-Gamma = Gamma

Alpha = Beta = 75,75°

Gamma = Delta = 104,25°

21.02.2012, 16:33

riwe

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a, c und A verwirrt

verwirrt

21.02.2012, 16:47

Tipso

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A= a+c*2/h

kann ich noch nicht berechnen.
------------------------------

Beim berechnen von c, a habe ich da meine Probleme, vorallem weiß ich nicht genau wie ich ein rechtwinkliges Dreieck erstellen soll.

Versuch:

cos(Alpha/2) = A/H

= (a/2)/(e/2)

= (a/2)= cos(alpha/2) * (e/2)

= 61,5694

a = 123,1389

21.02.2012, 17:13

riwe

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wenn du den cosinussatz noch nicht kennst, zeichne die höhe h auf a im punkt C ein.
damit hast du 2 rechtwinkelige 3ecke, aus denen du mit dem guten pythagoras und dem cosinus des winkels $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ a und c berechnen kannst

21.02.2012, 17:30

Tipso

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Cosinussatz kommt erst in der nächsten Lektion.
Da bin ich noch nicht.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sin(Beta) = G/h

Sin(Beta) = hc/b

hc = sin(beta)*b

hc = sin(75,75)*65

hc= 63,000009

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cos(Beta) = A/H

A= cos(Beta)*H

A = cos(Beta)*b

A=(der kleine Teil von a)= cos(75,75)*65

A= 15,9999

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cos(Alpha/2) = A/H

cos(Alpha/2) = a(zweiter Teil) / e

a(zweiter Teil)= cos(Alpha/2) *e

a(zweiter Teil ) = 123,1389

a^1a^2= a = 139,1388826

anderer Versuch wäre:

c^2= a^2+b^2

a(zweiter Teil)^2= e^2-hc^2

a= 156^2-63^2

= 142,7129

a^1+a^2= a= 158,6129 ( Lösungsbuch 159, also stimmt das )

Vll. ein Tipp wie ich weiter vorgehen kann?

lg

22.02.2012, 14:04

Tipso

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Wie machst du bloß diese schönen, genauen Skizzen x)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Was wir wissen :

$\begin{eqnarray*} \gamma = \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 180-\alpha = \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 180-\delta = \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 75,75° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma = Delta = 104,25° \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} h = hc \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sin\beta = G/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Sin\beta = hc/b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} hc = sin\beta*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} hc = sin(75,75)*65 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} hc= 63,000009 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
kleiner Teil von a = X

$\begin{eqnarray*} cos\beta = A/H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X= cos\beta*H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = cos\beta*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X= cos(75,75)*65 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X= 15,9999 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Großer Teil von a, nennen wir es Z.

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha/2) = A/H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha/2) = Z / e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z= cos(\alpha/2) *e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z = 123,1389 \end{eqnarray*}$ ( Falsch !! )

Wie geht es richtig ?!!

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Anderer Versuch wäre:

$\begin{eqnarray*} c^2= a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z^2= e^2-hc^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z^2= 156^2-63^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z= 142,7129 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^1+a^2= a= 158,6129 \end{eqnarray*}$ ( Lösungsbuch 159, also stimmt das )

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Meine Fragen:

Wie berechne ich a(zweiter Teil, Z) mithilfe von Trigonometrie ?
Ich bin nur durch den Satz des Pythagoras an das Ergebnis gekommen.

Wie komme ich an c ran ? Ich finde kein rechtwinckliges Dreieck dafür.
( a^2-a^1 = c, aber das ist zu einfach, ich muss dies mithilfe von Trigonometrischen Formeln lösen )

Wie gehe ich weiter voran um andere Teile zu berechnen ??!

lg

22.02.2012, 14:22

riwe

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du meinst vermutlich trigonometrie am RECHTwinkeligen dreieck,
ansonsten geht es einfach mit sinus- bzw. cosinussatz.

also am rechtwinkeligen dreieck zeichne in D oder C die höhe auf a ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-c}{2b}=cos\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h=b\cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1=\frac{h}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\beta_1=\frac{a+c}{2e} \end{eqnarray*}$

damit kannst du a und c berechnen

22.02.2012, 15:00

Tipso

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In diesem Beispiel darf ich den Sinus bzw. kosunussatz nicht verwenden.

Ich fange mal damit an, das zweite Stück von a auszurechnen.

also am rechtwinkeligen dreieck zeichne in D oder C die höhe auf a ein:

Ich verstehe die erste Formel schon nicht :

$\begin{eqnarray*} \frac{a-c}{2b}=cos\alpha \end{eqnarray*}$

In D oder C die höhe h einzeichnen, das habe ich schon beim ausrechnen von X( kleiner Teil von a) gemacht.

Danach wird es zu komplex, ich komme auf.

$\begin{eqnarray*} sin\alpha = G/H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\alpha = h/(a-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-c) = \frac{h}{sin\alpha} \end{eqnarray*}$

lg

22.02.2012, 15:13

riwe

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da du ein symmetrisches trapez hast, ist das stückerl von A bis zum lotfußpunkt

$\begin{eqnarray*} x =\frac{a-c}{2} \end{eqnarray*}$

und daher das stück rechts

$\begin{eqnarray*} a-x=\frac{a+c}{2} \end{eqnarray*}$

geht´s jetzt verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 15:50

Tipso

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Diese beiden Formeln sind mir jetzt vollständig klar.
Da $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta \end{eqnarray*}$ .

Aber jetzt der Sprung zu dieser Formel.

$\begin{eqnarray*} \frac{a-c}{2b}=cos\alpha \end{eqnarray*}$

das habe ich nun auch begriffen, ist das Gleiche wie =

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{x}{b} \end{eqnarray*}$

Das zweite ist auch klar: hat mit der obigen Formel zu tun.

$\begin{eqnarray*} h=b\cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$

Hier verstehe ich nichts mehr.

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1=\frac{h}{e} \end{eqnarray*}$

Der rechtewinkel liegt hier bei h, die Hypotenuse ist e, die Ankathete ist (a-x).
Aber ich muss doch die hälfte von sin\alpha nehmen, da e zu Eckpunkt A verläuft und \alpha schneidet. Also $\begin{eqnarray*} sin\frac{\alpha }{2} \end{eqnarray*}$ .

( Bei der Skizze von dir ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ vertauscht, weshalb du immer von \beta sprichst aber ich von $\begin{eqnarray*} \alpha) \end{eqnarray*}$

lg

22.02.2012, 16:41

riwe

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wenn du dir leibenswürdigerweise mein bilderl weiter oben anschaust:

$\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ ist der winkel den die diagonale e und a miteinander einschließen, dieser winkel ist NICHT $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ und daher mußt du ihn zuerst bestimmen
wie oben angegeben, um weiter rechnen zu können

22.02.2012, 19:05

Tipso

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Ja ich schaue mir die ganze Zeit dein Bild an.

Aber jetzt fällt der Groschen!!!

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1=\frac{h}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1 = \frac{63}{156} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1 = 0,403 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\beta_1 = 23,82° \end{eqnarray*}$

Bei anderen Aufgaben habe ich auch die Hälfte nehmen können ?!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} cos\beta_1=\frac{a+c}{2e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a + c\right)= 2e * cos\beta_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a + c\right)= 2*156 *cos23,82° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a + c\right)= 285,4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+c) - 2x /2 = c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+c) - c = a \end{eqnarray*}$

Ich hätte doch auch,

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = A/H \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = (a-x)/e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a-x\right)= cos\alpha *e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a-x\right)= cos23,82 * 156 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a-x\right)= 142,72 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \left(a-x\right) + x = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 142,72 + 16 = 158,72 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ich überlege mir jetzt noch wie ich mit Trigonometrie an c komme.

lg

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22.02.2012, 19:15

riwe

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oh lord

unglücklich

ich habe dir doch oben hingemalt

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{}a+c=2e\cdot cos\beta_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{}a-c=2b\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

wie wäre es, wenn du nun diese beiden gleichungen einmal addierst und einmal subtrahierst verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 19:35

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2e\cdot cos\beta_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2*156\cdot cos28,82 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c= 285,42 \end{eqnarray*}$

Achtung: Beim runden kommt 273 heraus.

---------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \quad{}a-c=2b\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a-c=2*65\cdot cos75,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a-c= 32 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} c = (\quad{}a+c - \quad{}a-c )/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 126,72 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} a= (\quad{}a+c + \quad{}a-c )/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= 158,72 \end{eqnarray*}$

22.02.2012, 19:52

riwe

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a=168.50 und c = 136.50

22.02.2012, 19:59

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2e\cdot cos\beta_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2*156\cdot cos28,82 \end{eqnarray*}$

hier hab ich einen Fehler gemacht, cos23,81884139

Damit stimmt das a und c von mir. Ich habe es nochmals nachgerechnet.

lg

22.02.2012, 20:08

riwe

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2e\cdot cos\beta_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad{}a+c=2*156\cdot cos28,82 \end{eqnarray*}$

hier hab ich einen Fehler gemacht, cos23,81884139

Damit stimmt das a und c von mir. Ich habe es nochmals nachgerechnet.

lg

entschuldige, ich hatte einen zahlensturz mit e = 165 statt e = 156

aber nachrechnen tu ich´s nicht mehr

22.02.2012, 20:15

Tipso

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Alles klar.

Thx.

Ich glaube wir sind dann fertig Freude

Freude

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