Vereinigung 2 Unterräume , kein Unterraum mehr

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21.02.2012, 15:52	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung 2 Unterräume , kein Unterraum mehr Sali, wie der Titel schon sagt, zu finden sei ein *nicht* Unterraum , der durch die Vereinigung zweier Unterräume entsteht. In meinem Beispiel nehme ich mir den R^2, da dieser besonders einfach erscheint für diese Konstruktion. Wie in einer vorheriegen Aufgabe lassen sich Unterverktorräume wie folgt konstruieren: $\begin{eqnarray} U := \left\{ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \| x=y \right\} \end{eqnarray}$ Definiere mir also meinen Unterraum $\begin{eqnarray} U := \left\{ \begin{pmatrix} 7 \\ y\end{pmatrix} \| x= 7\right\} \end{eqnarray}$ Definiere mir meinen Unterraum $\begin{eqnarray} W := \left\{ \begin{pmatrix} 4\\ y\end{pmatrix} \| x= 4\right\} \end{eqnarray}$ . Ansatz: Bei einer Vereingung werden alle Vektoren eingeschlossen, d.h. ich suche mir einen Punkt der in der einen Menge 100% drin liegt, aber nicht durch beide dargestellt werden kann?
21.02.2012, 15:55	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Idee geht schon in die richtige Richtung. Allerdings sind U und W keine Unterräume, da in beiden zB die 0 nicht enthalten ist.
21.02.2012, 15:58	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
oh verdammt, dann wähle ich sie so: $\begin{eqnarray} U := \left\{ \begin{pmatrix} 2y \\ y\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W := \left\{ \begin{pmatrix} 3y \\ y\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ in beiden fällen sind sie abgeschlossen und der Nullvektor erzeugbar.
21.02.2012, 16:00	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das ist besser. Dann nimm dir doch nun mal beliebige Vektoren aus beiden Räumen und prüfe auf Abschluss der Addition.
21.02.2012, 16:09	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ich darf nur vektoren verwenden, die durch mind. einen unterraum dargestellt werden können, z.b. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , welcher linear kombiniert aus U mit y=2 sich ergibt. oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , kombiniert aus W mit y=3. D.h. ich müsse ja dann beide Vektoren aus U+W darstellen können, richtig? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3y \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5y \\ 2y\end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3y \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5y \\ 2y\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und beides nicht darstellbar.
21.02.2012, 16:23	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, du lässt dich etwas von deiner y-Schreibweise verwirren. Lass das y mal weg und wir arbeiten nur mit den jeweiligen Basen der Räume: $\begin{eqnarray} U=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ Jetzt wollen wir ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} U\cup W \end{eqnarray}$ kein Unterraum mehr ist. Nimm doch dazu mal zwei Vektoren aus der Vereinigung, und zwar einen der ursprünglich in U und einen der ursprünglich in W war und addiere beide und schau was dann passiert.
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21.02.2012, 16:32	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut, d.h. meine Basis des R^2 ist: $\begin{eqnarray} Basis_{U,W} = \left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Nehme mir die beiden geforderten Vektoren: $\begin{eqnarray} <br /> u_{1} =: \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} ,<br /> w_{1} =: \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} ,<br /> u_{1} + w_{1} = \begin{pmatrix} 13 \\ 5 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Der neue durch die addition zweier "bekannter" , entstandene Vektor lässt sich weder durch U , noch durch W darstellen?
21.02.2012, 16:35	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß zwar nicht, wofür du die Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ hier erwähnst, aber der Rest ist auf jeden Fall korrekt.
21.02.2012, 16:42	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
ah sry ja klar $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ja gerade die Basis des Untervektorraums U. analog $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für W. D.h. mit der Annahme, dass $\begin{eqnarray} U\cup W \end{eqnarray}$ auch ein untervektorraum ist , müsste dieser auch eine Basis besitzten, welche $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre. Da eine Basis jeden Vektor in der Vereinigungsmenge erzeugen können muss, also auch die Vektoren die in U , aber nicht in W, und analog die in W , aber nicht in U liegen. Dies schlägt hier jedoch fehlt , s. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 13 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , daher keine Basis, daher kein untervektorraum wg. der nicht abgeschlossenheit bzgl. der Addition bzw. auch nicht der multiplikation. Kann man das so sage?
21.02.2012, 16:48	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so in etwa. Ich würde aber nicht mit der Basis der Vereinigung argumentieren. Es reicht, sich zwei Vektoren zu nehmen, so wie du es gemacht hast. Diese sind in der Vereinigung, da die ja jeweils aus U und W kommen. Die Addition beider liefert einen Vektor, der, so wie du sagtest, nicht in der Vereinigung liegt. Da ein UVR aber abgeschlossen bzgl. Addition sein muss, kann die Vereinigung kein UVR sein.
21.02.2012, 16:55	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
thanks!

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