Ableitung e-Funktion - Bruch

21.02.2012, 18:29

blu3.Eye

Ableitung e-Funktion - Bruch

Guten Abend.

Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t) = \frac{100}{79 \cdot e^{-k \cdot t}+ 1 } \end{eqnarray*}$

Ansatz:

Bei Brüchen hätte ich die Quotientenregel angewandt, jedoch befindet sich hier im Zähler gar keine Variable.

Was muss ich hier machen?
Hat jemand einen Tipp?

Danke smile

21.02.2012, 18:32

Mulder

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch

Zitat:

Original von blu3.Eye
Bei Brüchen hätte ich die Quotientenregel angewandt, jedoch befindet sich hier im Zähler gar keine Variable.

Die Quotientenregel würde aber trotzdem funktionieren.

Aber wenn dir das lieber ist, kannst du auch Potenzgesetze bemühen:

$\begin{eqnarray*} f_k(t) = 100 \cdot \left ( 79e^{-kt}+1 \right )^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann geht's auch mit der Kettenregel (ist so insgesamt auch etwas leichter als mit der Quotientenregel, würde ich sagen).

21.02.2012, 18:46

blu3.Eye

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Danke, für die Antwort Mulder smile

Warum kann ich hier jetzt die Kettenregel anwenden, also wo ist hier die Kette?
Für mich sieht das wie ein Produkt aus, also Produktregel.. verwirrt

Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) [v(x)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(x) [v(x)] \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} u = 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = (79e^{-kt}+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = 79 \cdot (-t) \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

u' ist ja schon 0, dann müsste ja alles 0 werden.

21.02.2012, 18:51

Mulder

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Meine Güte, was ist denn jetzt los? verwirrt

Zitat:

Original von blu3.Eye
Warum kann ich hier jetzt die Kettenregel anwenden, also wo ist hier die Kette?

Innere Funktion ist 79e^(-kt)+1 und die äußere Funktion ist das "hoch minus 1".

Zitat:

Original von blu3.Eye
Für mich sieht das wie ein Produkt aus, also Produktregel..

Kann man als Produkt sehen, ja. Aber die 100 ist ein konstanter Faktor, der bleibt einfach so erhalten. -> Faktorregel. Daher brauchst du die Produktregel eigentlich nicht. Wäre nur unnötig umständlich.

Zitat:

Original von blu3.Eye
$\begin{eqnarray*} v = (79e^{-kt}+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = 79 \cdot (-t) \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Das ist nun wirklich komplett daneben.

Also: Richtig: f(x) = v(u(x))

$\begin{eqnarray*} u = ( 79e^{-kt}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = (u)^{-1} \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 18:56

blu3.Eye

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Tut mir Leid. geschockt

$\begin{eqnarray*} u = ( 79e^{-kt}+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = ( 79 \cdot (-k) \cdot e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = (u)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = -1(u)^{-2} \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

21.02.2012, 19:23

Mulder

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Ja, ganz genau.

21.02.2012, 19:31

blu3.Eye

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(x) [v(x)] \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -79k \cdot e^{-kt} \cdot (-u^{-3}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Eigentliche Lösung sollte aber sein:

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t) = \frac{7900 \cdot k \cdot e^{-k \cdot t} \cdot }{(79 \cdot e^{-k \cdot t}+ 1)^2 } \end{eqnarray*}$

Was ist falsch? verwirrt

21.02.2012, 19:47

blu3.Eye

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Sorry, habe diese Zeile vergessen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -79k \cdot e^{-kt} \cdot (-u^{-3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-79k \cdot e^{-kt} \cdot -1}{( 79e^{-kt}+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{7900k \cdot e^{-kt}}{( 79e^{-kt}+1)^3} \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 20:04

Mulder

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Wo kommt denn da nun das "hoch minus 3" her? Wir hatten als äußere Ableitung doch "hoch minus 2".

Und ansonsten musst du an die 100 denken, die du als Faktor vorne stehen hast. Die kannst du beim Ableiten weglassen, weil sie erhalten bleibt, aber sie verschwindet nicht. Wenn du abgeleitet hast, nimmst du sie wieder hinzu.

21.02.2012, 20:22

blu3.Eye

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch
Aber es heißt doch:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(x) [v(x)] \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Und:

$\begin{eqnarray*} v = (u)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = -1(u)^{-2} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} (u)^{-1} \cdot -1(u)^{-2} = -1(u)^{-3} \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

21.02.2012, 20:40

Mulder

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RE: Ableitung e-Funktion - Bruch

Zitat:

Original von blu3.Eye
Aber es heißt doch:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(x) [v(x)] \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Nein!

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(v(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Du schreibst es gleich zu Beginn...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) [v(x)] \end{eqnarray*}$

schon falsch. Du darfst nicht "u(x)[v(x)] schreiben. Das wäre ein Produkt. Ist es aber nicht! Es ist eine Verkettung, wobei u die äußere und v die innere Funktion ist.

Übrigens hab ich das bei meinem Lösungsansatz aus Versehen vertauscht, ich hab u die innere und v die äußere Funktion genannt. Ist nicht weiter schlimm, du musst da nur eben drauf achten.

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